सिद्ध कीजिए कि f(x) = $ \frac{\log x}{x} $ द्वारा प्रदत्त फलन x = e पर उच्चतम है।
Miscellaneous Exercise-2
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मान लीजिए f(x) = $ \frac{\log x}{x}$
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
f$^{\prime}$(x) = $\frac{x\left(\frac{1}{x}\right)-(\log x) \cdot 1}{x^{2}}$ = $\frac{1-\log x}{x^{2}}$
पुनः अवकलन करने पर,
f$^{\prime \prime}$(x) = $\frac{x^{2}\left(-\frac{1}{x}\right)-(1-\log x) 2 x}{\left(x^{2}\right)^{2}} $
= $\frac{-x-2 x+2 x \log x}{x^{4}}$ = $\frac{x(2 \log x-3)}{x^{4}}$ = $\frac{2 \log x-3}{x^{3}}$
उच्चतम मान के लिए f$^{\prime}$(x) = 0 रखने पर,
$\Rightarrow $ $ \frac{1-\log x}{x^{2}}$ = 0
$\Rightarrow $ log x = 1 $\Rightarrow $ x = e
x = e पर,
f$^{\prime \prime}$(e) = $\frac{2 \log e-3}{e^{3}}$ = $\frac{2 \cdot 1-3}{e^{3}}$ = $\frac{-1}{e^{3}}$ < 0
इसलिए द्वितीय अवकलन परीक्षण द्वारा x = e पर, f उच्चतम है।
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
f$^{\prime}$(x) = $\frac{x\left(\frac{1}{x}\right)-(\log x) \cdot 1}{x^{2}}$ = $\frac{1-\log x}{x^{2}}$
पुनः अवकलन करने पर,
f$^{\prime \prime}$(x) = $\frac{x^{2}\left(-\frac{1}{x}\right)-(1-\log x) 2 x}{\left(x^{2}\right)^{2}} $
= $\frac{-x-2 x+2 x \log x}{x^{4}}$ = $\frac{x(2 \log x-3)}{x^{4}}$ = $\frac{2 \log x-3}{x^{3}}$
उच्चतम मान के लिए f$^{\prime}$(x) = 0 रखने पर,
$\Rightarrow $ $ \frac{1-\log x}{x^{2}}$ = 0
$\Rightarrow $ log x = 1 $\Rightarrow $ x = e
x = e पर,
f$^{\prime \prime}$(e) = $\frac{2 \log e-3}{e^{3}}$ = $\frac{2 \cdot 1-3}{e^{3}}$ = $\frac{-1}{e^{3}}$ < 0
इसलिए द्वितीय अवकलन परीक्षण द्वारा x = e पर, f उच्चतम है।
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