एक वृत्त की त्रिज्या समान रूप से $3 \ cm/s$ की दर से बढ़ रही है। ज्ञात कीजिए कि वृत्त का क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है जब त्रिज्या $10 \ cm$ है।
Exercise-6.1-3
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मान लीजिए कि $t$ समय पर वृत्त की त्रिज्या $r$ है और वृत्त का क्षेत्रफल $A$ है, वृत्त $A$ का क्षेत्रफल $= \pi r^2$
अब, समय $t$ के सापेक्ष क्षेत्रफल $A$ के परिवर्तन की दर इस प्रकार दी जाती है।
$\frac{d A}{d t} = \frac{d}{d t} \left(\pi r^{2}\right) = 2 \pi r \frac{d r}{d t} ($श्रृंखला नियम से$)$
यह दिया गया है कि वृत्त की त्रिज्या $3$ सेमी/से की दर से बढ़ रही है।
$\therefore$ अतः $\frac{d r}{d t} = 3$ सेमी/से, $\frac{d A}{d t} = 2\pi r (3) = 6\pi r$ सेमी$^2$/ से
इसलिए, जब $r = 10$ सेमी; $\frac{d A}{d t} = 6\pi (10) = 60 \pi $ सेमी$^2$/ से
अतः, जब वृत्त की त्रिज्या $10$ सेमी है, तो वृत्त का क्षेत्रफल $60\pi$ सेमी$^2$ / से की दर से बढ़ रहा है।
अब, समय $t$ के सापेक्ष क्षेत्रफल $A$ के परिवर्तन की दर इस प्रकार दी जाती है।
$\frac{d A}{d t} = \frac{d}{d t} \left(\pi r^{2}\right) = 2 \pi r \frac{d r}{d t} ($श्रृंखला नियम से$)$
यह दिया गया है कि वृत्त की त्रिज्या $3$ सेमी/से की दर से बढ़ रही है।
$\therefore$ अतः $\frac{d r}{d t} = 3$ सेमी/से, $\frac{d A}{d t} = 2\pi r (3) = 6\pi r$ सेमी$^2$/ से
इसलिए, जब $r = 10$ सेमी; $\frac{d A}{d t} = 6\pi (10) = 60 \pi $ सेमी$^2$/ से
अतः, जब वृत्त की त्रिज्या $10$ सेमी है, तो वृत्त का क्षेत्रफल $60\pi$ सेमी$^2$ / से की दर से बढ़ रहा है।
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