वक्र $x^{2 }= 4y$ के बिंदु $(1, 2)$ पर अभिलंब का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Miscellaneous Exercise-4
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वक्र का समीकरण $= x^2 = 4y$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
बिन्दु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $= \frac{x_{1}}{2} = m ($माना$)$
$\therefore$ अभिलंब का समीकरण
$y - y_1 = -\frac{2}{x_1}(x - x_1) ...(i)$
बिंदु $(1, 2)$ पर
$2 - y_1 = \frac{2}{x_1}(1 - x_1)$
$\Rightarrow 2x_1 - x_1y_1 = -2 + 2x_1$
$x_1y_1 = 2$
$(x_1, y_1)$ वक्र पर स्थित है,$ ...(ii)$
$\therefore x_{1}^{2}=4 y_{1} ...(iii)$
समीकरण $(ii)$ और $(iii)$ से,
$x_{1}^{2}=4 \cdot \frac{2}{x_{1}}$ या $x_{1}^{3}=8 \therefore x_{1}=2$
$\therefore y_1 = 1$
$\therefore$ बिंदु $(1, 2) $पर अभिलंब का समीकरण
$y - 1 = -\frac{2}{2}(x - 2) = -(x - 2)$
$x + y - 2 - 1 = 0$
$\therefore x + y - 3 = 0$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
बिन्दु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $= \frac{x_{1}}{2} = m ($माना$)$
$\therefore$ अभिलंब का समीकरण
$y - y_1 = -\frac{2}{x_1}(x - x_1) ...(i)$
बिंदु $(1, 2)$ पर
$2 - y_1 = \frac{2}{x_1}(1 - x_1)$
$\Rightarrow 2x_1 - x_1y_1 = -2 + 2x_1$
$x_1y_1 = 2$
$(x_1, y_1)$ वक्र पर स्थित है,$ ...(ii)$
$\therefore x_{1}^{2}=4 y_{1} ...(iii)$
समीकरण $(ii)$ और $(iii)$ से,
$x_{1}^{2}=4 \cdot \frac{2}{x_{1}}$ या $x_{1}^{3}=8 \therefore x_{1}=2$
$\therefore y_1 = 1$
$\therefore$ बिंदु $(1, 2) $पर अभिलंब का समीकरण
$y - 1 = -\frac{2}{2}(x - 2) = -(x - 2)$
$x + y - 2 - 1 = 0$
$\therefore x + y - 3 = 0$
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