वक्र $y = x^{3 }+ 2x + 6$ के उन अभिलंबो के समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा $x + 14y + 4 = 0$ के समांतर है।
Exercise-6.3-21
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दिए गए वक्र का समीकरण है, $y = x^{3 }+ 2x + 6 ...(i)$
दिए गए वक्र की स्पर्श. रेखा की प्रवणता बिंदु $(x, y)$ पर इस प्रकार दी जाती है,
$\frac{d y}{d x} = 3x^{2 }+ 2$
$\therefore$ किसी बिंदु पर $(x, y)$ दिए गए वक्र की अभिलंब की प्रवणता
दी गई रेखा का समीकरण है, $x + 14y + 4 = 0$
$\Rightarrow y = - \frac{1}{14} x - \frac{4}{14}$ जोकि समीकरण $y = mx + c$ के प्रकार का है।
$\therefore$ दी गई रेखा की प्रवणता $= \frac{-1}{14}$
यदि अभिलंब रेखा $x + 14y + 4 = 0$ के समांतर है तब अभिलंब की प्रवणता उस रेखा की प्रवणता के बराबर होगी।
$\therefore \frac{-1}{3 x^{2}+2} = \frac{-1}{14}$
$\Rightarrow 3x^2+ 2 = 14$
$\Rightarrow 3x^2 = 12 $
$\Rightarrow x^2 = 4 $
$\Rightarrow x = \pm 2$
जब $x = 2, y = 8 + 4 + 6 = 18$
जब $x = - 2, y = - 8 - 4 + 6 = - 6$
इसलिए, दिए गए वक्र में दो अभिलंब है जिसकी प्रवणता $\frac{-1}{14}$ है। और बिंदु $(2, 18)$ और $(- 2, - 6)$ से होकर गुजरती है।
इसलिए, अभिलंब का समीकरण है जोकि बिंदु $(2,18)$ से होकर गुजरती है।
$y - 18 = \frac{-1}{14} (x - 2)$
$\Rightarrow14y - 252 = - x + 2 $
$\Rightarrow x + 14y - 254 = 0 $और, अभिलंब का समीकरण है जोकि बिंदु $(- 2, - 6)$ से होकर गुजरता है।
$y - (- 6) = \frac{-1}{14} [x - (- 2)] $
$ \Rightarrow y + 6 = \frac{-1}{14} (x + 2)$
$14y + 84 = - x - 2 $
$ \Rightarrow x + 14y + 86 = 0$
अतः दिए गए वक्र के अभिलंब के समीकरण $x + 14y - 254 = 0$ और $x + 14y + 86 = 0$ है
जो दी गई रेखा $x + 1 + y + 4 = 0$ के समांतर है।
दिए गए वक्र की स्पर्श. रेखा की प्रवणता बिंदु $(x, y)$ पर इस प्रकार दी जाती है,
$\frac{d y}{d x} = 3x^{2 }+ 2$
$\therefore$ किसी बिंदु पर $(x, y)$ दिए गए वक्र की अभिलंब की प्रवणता
दी गई रेखा का समीकरण है, $x + 14y + 4 = 0$
$\Rightarrow y = - \frac{1}{14} x - \frac{4}{14}$ जोकि समीकरण $y = mx + c$ के प्रकार का है।
$\therefore$ दी गई रेखा की प्रवणता $= \frac{-1}{14}$
यदि अभिलंब रेखा $x + 14y + 4 = 0$ के समांतर है तब अभिलंब की प्रवणता उस रेखा की प्रवणता के बराबर होगी।
$\therefore \frac{-1}{3 x^{2}+2} = \frac{-1}{14}$
$\Rightarrow 3x^2+ 2 = 14$
$\Rightarrow 3x^2 = 12 $
$\Rightarrow x^2 = 4 $
$\Rightarrow x = \pm 2$
जब $x = 2, y = 8 + 4 + 6 = 18$
जब $x = - 2, y = - 8 - 4 + 6 = - 6$
इसलिए, दिए गए वक्र में दो अभिलंब है जिसकी प्रवणता $\frac{-1}{14}$ है। और बिंदु $(2, 18)$ और $(- 2, - 6)$ से होकर गुजरती है।
इसलिए, अभिलंब का समीकरण है जोकि बिंदु $(2,18)$ से होकर गुजरती है।
$y - 18 = \frac{-1}{14} (x - 2)$
$\Rightarrow14y - 252 = - x + 2 $
$\Rightarrow x + 14y - 254 = 0 $और, अभिलंब का समीकरण है जोकि बिंदु $(- 2, - 6)$ से होकर गुजरता है।
$y - (- 6) = \frac{-1}{14} [x - (- 2)] $
$ \Rightarrow y + 6 = \frac{-1}{14} (x + 2)$
$14y + 84 = - x - 2 $
$ \Rightarrow x + 14y + 86 = 0$
अतः दिए गए वक्र के अभिलंब के समीकरण $x + 14y - 254 = 0$ और $x + 14y + 86 = 0$ है
जो दी गई रेखा $x + 1 + y + 4 = 0$ के समांतर है।
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