सिद्ध कीजिए कि $f(x) = \tan^{-1}(\sin x + \cos x),$ अंतराल $\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ में वर्धमान फलन है।
EXAMPLE-48
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दिया है,
$f(x) = \tan^{-1}(\sin x + \cos x)$
$f'(x) = \frac{1}{1+(\sin x+\cos x)^{2}}. (\cos x - \sin x)$
$= \frac{1}{1+\sin ^{2} x+\cos ^{2} x+2 \sin x \cdot \cos x}(\cos x - \sin x)$
$= \frac{1}{(2+\sin 2 x)}(\cos x - \sin x) [\because \sin 2x = 2 \sin x \cos x$ तथा $\sin^2 x + \cos^{2 }x = 1]$
$f'(x) \geq0, \frac{1}{(2+\sin 2 x)}. (\cos x - \sin x) \geq 0$ के लिए
$\Rightarrow \cos x - \sin x \geq 0 [\because(2 + \sin 2x)\geq 0\ in \left(0, \frac{\pi}{4}\right)]$
$\Rightarrow \cos x \geq \sin x$
यह तभी सत्य होगा यदि $x \in\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$
अतः $f(x) \left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ में वर्द्धमान फलन है।
$f(x) = \tan^{-1}(\sin x + \cos x)$
$f'(x) = \frac{1}{1+(\sin x+\cos x)^{2}}. (\cos x - \sin x)$
$= \frac{1}{1+\sin ^{2} x+\cos ^{2} x+2 \sin x \cdot \cos x}(\cos x - \sin x)$
$= \frac{1}{(2+\sin 2 x)}(\cos x - \sin x) [\because \sin 2x = 2 \sin x \cos x$ तथा $\sin^2 x + \cos^{2 }x = 1]$
$f'(x) \geq0, \frac{1}{(2+\sin 2 x)}. (\cos x - \sin x) \geq 0$ के लिए
$\Rightarrow \cos x - \sin x \geq 0 [\because(2 + \sin 2x)\geq 0\ in \left(0, \frac{\pi}{4}\right)]$
$\Rightarrow \cos x \geq \sin x$
यह तभी सत्य होगा यदि $x \in\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$
अतः $f(x) \left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ में वर्द्धमान फलन है।
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