f(x) = x $\sqrt{1-x}$, 0 < x < 1 के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हों तो, ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम मान, जैसी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए।
Exercise-6.5-3(8)
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दिया गया फलन f(x) = x $ \sqrt{1-x}$
$ \Rightarrow $ f$^{\prime}(x) $ = $ \frac{x(-1)}{2 \sqrt{1-x}}$ + $\sqrt{1-x}$ = $\frac{-x+2(1-x)}{2 \sqrt{1-x}}$ = $\frac{2-3 x}{2 \sqrt{1-x}} $
$\Rightarrow$ f$^{\prime \prime}$(x) = $ \frac{1}{2}\left[\frac{\sqrt{1-x}(-3)-(2-3 x)\left(\frac{-1}{2 \sqrt{1-x}}\right)}{(1-x)}\right] $
= $ \frac{\sqrt{1-x(-3)-(2-3 x)\left(\frac{-1}{2 \sqrt{1-x}}\right)}}{2(1-x)}$ = $\frac{-6(1-x)+(2-3 x)}{4(1-x)^{3 / 2}} $
= $\frac{3 x-4}{4(1-x)^{3 / 2}}$
उच्चतम और न्यूनतम के लिए f$^{\prime}$(x) = 0 रखने पर,
$\therefore$ $ \frac{2-3 x}{2 \sqrt{1-x}}$ = 0 $ \Rightarrow$ 2 - 3x = 0 $\Rightarrow$ x = $ \frac{2}{3}$
x = $\frac{2}{3}$ पर, f$^{\prime \prime}$ $\left(\frac{2}{3}\right)$ = $ \frac{3\left(\frac{2}{3}\right)-4}{4\left(1-\frac{2}{3}\right)^{3 / 2}}$ = $ \frac{2-4}{4\left(\frac{1}{3}\right)^{3 / 2}}$ = $\frac{-1}{2\left(\frac{1}{3}\right)^{3 / 2}}$ < 0
$\therefore$ x = $ \frac{2}{3} $ उच्चतम का बिंदु है।
तथा उच्चतम मान = f $\left(\frac{2}{3}\right)$ = $ \frac{2}{3} \sqrt{1-\frac{2}{3}}=\frac{2}{3}$ $\times $ $ \sqrt{\frac{1}{3}}$ = $\frac{2}{3 \sqrt{3}}$ = $\frac{2 \sqrt{3}}{9} $
$ \Rightarrow $ f$^{\prime}(x) $ = $ \frac{x(-1)}{2 \sqrt{1-x}}$ + $\sqrt{1-x}$ = $\frac{-x+2(1-x)}{2 \sqrt{1-x}}$ = $\frac{2-3 x}{2 \sqrt{1-x}} $
$\Rightarrow$ f$^{\prime \prime}$(x) = $ \frac{1}{2}\left[\frac{\sqrt{1-x}(-3)-(2-3 x)\left(\frac{-1}{2 \sqrt{1-x}}\right)}{(1-x)}\right] $
= $ \frac{\sqrt{1-x(-3)-(2-3 x)\left(\frac{-1}{2 \sqrt{1-x}}\right)}}{2(1-x)}$ = $\frac{-6(1-x)+(2-3 x)}{4(1-x)^{3 / 2}} $
= $\frac{3 x-4}{4(1-x)^{3 / 2}}$
उच्चतम और न्यूनतम के लिए f$^{\prime}$(x) = 0 रखने पर,
$\therefore$ $ \frac{2-3 x}{2 \sqrt{1-x}}$ = 0 $ \Rightarrow$ 2 - 3x = 0 $\Rightarrow$ x = $ \frac{2}{3}$
x = $\frac{2}{3}$ पर, f$^{\prime \prime}$ $\left(\frac{2}{3}\right)$ = $ \frac{3\left(\frac{2}{3}\right)-4}{4\left(1-\frac{2}{3}\right)^{3 / 2}}$ = $ \frac{2-4}{4\left(\frac{1}{3}\right)^{3 / 2}}$ = $\frac{-1}{2\left(\frac{1}{3}\right)^{3 / 2}}$ < 0
$\therefore$ x = $ \frac{2}{3} $ उच्चतम का बिंदु है।
तथा उच्चतम मान = f $\left(\frac{2}{3}\right)$ = $ \frac{2}{3} \sqrt{1-\frac{2}{3}}=\frac{2}{3}$ $\times $ $ \sqrt{\frac{1}{3}}$ = $\frac{2}{3 \sqrt{3}}$ = $\frac{2 \sqrt{3}}{9} $
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