g(x) = $\frac{1}{x^{2}+2}$ के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हों तो, ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम मान, जैसी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए।
Exercise-6.5-3(7)
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दिया गया फलन है g(x) = $ \frac{1}{x^{2}+2}$
अब, g(x) = $ \left(x^{2}+2\right)^{-1}$ $\Rightarrow$ g$^{\prime}$(x) = -$ 1\left(x^{2}+2\right)^{-1-1}$ $\times $ 2x = $ \frac{-2 x}{\left(x^{2}+2\right)^{2}}$
$\Rightarrow$ g$^{\prime \prime}$(x) = $ \frac{\left(x^{2}+2\right)^{2} \cdot(-2)-(-2 x) \cdot 2\left(x^{2}+2\right) \cdot 2 x}{\left(x^{2}+2\right)^{4}} \\$
= $\frac{-2\left(x^{2}+2\right)^{2}+8 x^{2}\left(x^{2}+2\right)}{\left(x^{2}+2\right)^{4}}$ = $\frac{\left(x^{2}+2\right)\left(-2 x^{2}-4+8 x^{2}\right)}{\left(x^{2}+2\right)^{4}} \\$
= $ \frac{6 x^{2}-4}{\left(x^{2}+2\right)^{3}}$ = $\frac{2\left(3 x^{2}-2\right)}{\left(x^{2}+2\right)^{3}}$
न्यूनतम और उच्चतम मान के लिए g$^{\prime}$(x) = 0 $\Rightarrow $ $\frac{-2 x}{\left(x^{2}+2\right)^{2}}$ = 0 $\Rightarrow $ -2x = 0$\Rightarrow $ x = 0
x = 0 पर, g$^{\prime \prime}$(0) = $\frac{2\left[3(0)^{2}-2\right]}{\left[(0)^{2}+2\right]^{3}}$ = $\frac{-4}{8}$ = -$\frac{1}{2}$ < 0
$\therefore$ x = 0 उच्चतम का बिंदु है तथा उच्चतम मान, g(0) = $ \frac{1}{(0)^{2}+2}$ = $\frac{1}{2}$
अब, g(x) = $ \left(x^{2}+2\right)^{-1}$ $\Rightarrow$ g$^{\prime}$(x) = -$ 1\left(x^{2}+2\right)^{-1-1}$ $\times $ 2x = $ \frac{-2 x}{\left(x^{2}+2\right)^{2}}$
$\Rightarrow$ g$^{\prime \prime}$(x) = $ \frac{\left(x^{2}+2\right)^{2} \cdot(-2)-(-2 x) \cdot 2\left(x^{2}+2\right) \cdot 2 x}{\left(x^{2}+2\right)^{4}} \\$
= $\frac{-2\left(x^{2}+2\right)^{2}+8 x^{2}\left(x^{2}+2\right)}{\left(x^{2}+2\right)^{4}}$ = $\frac{\left(x^{2}+2\right)\left(-2 x^{2}-4+8 x^{2}\right)}{\left(x^{2}+2\right)^{4}} \\$
= $ \frac{6 x^{2}-4}{\left(x^{2}+2\right)^{3}}$ = $\frac{2\left(3 x^{2}-2\right)}{\left(x^{2}+2\right)^{3}}$
न्यूनतम और उच्चतम मान के लिए g$^{\prime}$(x) = 0 $\Rightarrow $ $\frac{-2 x}{\left(x^{2}+2\right)^{2}}$ = 0 $\Rightarrow $ -2x = 0$\Rightarrow $ x = 0
x = 0 पर, g$^{\prime \prime}$(0) = $\frac{2\left[3(0)^{2}-2\right]}{\left[(0)^{2}+2\right]^{3}}$ = $\frac{-4}{8}$ = -$\frac{1}{2}$ < 0
$\therefore$ x = 0 उच्चतम का बिंदु है तथा उच्चतम मान, g(0) = $ \frac{1}{(0)^{2}+2}$ = $\frac{1}{2}$
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