वक्र $y = \cos (x + y), -2 \pi \leq x \leq 2 \pi$, की उन सभी स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा $x + 2y = 0$ के समांतर हैं।
EXAMPLE-46
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दिया हुआ है कि $y = \cos (x + y)$
$\Rightarrow \frac{d y}{d x} = -\sin(x + y)\left[1+\frac{d y}{d x}\right]...(i)$
या $\frac{d y}{d x} = -\frac{\sin (x+y)}{1+\sin (x+y)}$
क्योंकि स्पर्श रेखा $x + 2y = 0$ के समांतर है, इसलिए स्पर्श रेखा की प्रवणता $= -\frac{1}{2}$
इसलिए, $-\frac{\sin (x+y)}{1+\sin (x+y)} = -\frac{1}{2}$
$\Rightarrow \sin (x + y) = 1$
क्योंकि $\cos (x + y) = y$ तथा $\sin(x + y) = 1$
$\Rightarrow \cos^2(x + y) + \sin^2(x + y) = y^2 + 1$
$\Rightarrow 1 = y^2 + 1y = 0$
इसलिए$ \cos x = 0$
इसलिए $x = (2n + 1) \frac{\pi}{2}, n = 0, \pm 1, \pm 2...$
अतः, $x = \pm \frac{\pi}{2}, \pm \frac{3 \pi}{2},$ परतु $x = \frac{\pi}{2}, x = \frac{-3 \pi}{2}$ समीकरण $(ii)$ को संतुष्ट करते हैं।
अतः $\left(\frac{\pi}{2}, 0\right),\left(\frac{-3 \pi}{2}, 0\right)$ उपयुक्त बिंदु है।
इस प्रकार $\left(\frac{\pi}{2}, 0\right)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y = -\frac{1}{2}\left(x-\frac{\pi}{2}\right)$ या $2 x+4y-\pi = 0$?
तथा $\left(\frac{-3 \pi}{2}, 0\right)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y = -\frac{1}{2}\left(x+\frac{3 \pi}{2}\right)$ या $2x + 4y + 3\pi = 0$
$\Rightarrow \frac{d y}{d x} = -\sin(x + y)\left[1+\frac{d y}{d x}\right]...(i)$
या $\frac{d y}{d x} = -\frac{\sin (x+y)}{1+\sin (x+y)}$
क्योंकि स्पर्श रेखा $x + 2y = 0$ के समांतर है, इसलिए स्पर्श रेखा की प्रवणता $= -\frac{1}{2}$
इसलिए, $-\frac{\sin (x+y)}{1+\sin (x+y)} = -\frac{1}{2}$
$\Rightarrow \sin (x + y) = 1$
क्योंकि $\cos (x + y) = y$ तथा $\sin(x + y) = 1$
$\Rightarrow \cos^2(x + y) + \sin^2(x + y) = y^2 + 1$
$\Rightarrow 1 = y^2 + 1y = 0$
इसलिए$ \cos x = 0$
इसलिए $x = (2n + 1) \frac{\pi}{2}, n = 0, \pm 1, \pm 2...$
अतः, $x = \pm \frac{\pi}{2}, \pm \frac{3 \pi}{2},$ परतु $x = \frac{\pi}{2}, x = \frac{-3 \pi}{2}$ समीकरण $(ii)$ को संतुष्ट करते हैं।
अतः $\left(\frac{\pi}{2}, 0\right),\left(\frac{-3 \pi}{2}, 0\right)$ उपयुक्त बिंदु है।
इस प्रकार $\left(\frac{\pi}{2}, 0\right)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y = -\frac{1}{2}\left(x-\frac{\pi}{2}\right)$ या $2 x+4y-\pi = 0$?
तथा $\left(\frac{-3 \pi}{2}, 0\right)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y = -\frac{1}{2}\left(x+\frac{3 \pi}{2}\right)$ या $2x + 4y + 3\pi = 0$
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