वक्र $y = x^{3 }- 3x^{2 }- 9x + 7$ पर उन बिंदुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखाएँ $x-$अक्ष के समांतर है।
Exercise-6.3-7
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वक्र का समीकरण है $y = x^3 - 3x^2 - 9x + 7 ...(i)$
$\therefore \frac{d y}{d x} = 3x^2 - 6x - 9$
अतः स्पर्श रेखा $x$ अक्ष के समांतर है, तब स्पर्श रेखा की प्रवणता $0$ है या हम कह सकते है कि,
$\frac{d y}{d x} = 0$
$\Rightarrow 3x^2 - 6x - 9 = 0$
$\Rightarrow 3(x^2 - 2x - 3) = 0$
$\Rightarrow (x - 3) (x + 1) = 0$
$\Rightarrow x = 3, -1$
जब $x = 3,$ तब समी $(i)$ से,
$y = 3^3- (3)\cdot(3)^2 - 9\cdot3 + 7$
$y = 27 - 27 - 27 + 7 = - 20$
जब $x = - 1,$ तब समी $(i)$ से,
$y = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 7$
$y = - 1 - 3 + 9 + 7 = 12$
अतः बिंदुओं $(3, - 20)$ और $(- 1, 12)$ जिन पर स्पर्श रेखाएँ $x-$अक्ष के समांतर हैं।
$\therefore \frac{d y}{d x} = 3x^2 - 6x - 9$
अतः स्पर्श रेखा $x$ अक्ष के समांतर है, तब स्पर्श रेखा की प्रवणता $0$ है या हम कह सकते है कि,
$\frac{d y}{d x} = 0$
$\Rightarrow 3x^2 - 6x - 9 = 0$
$\Rightarrow 3(x^2 - 2x - 3) = 0$
$\Rightarrow (x - 3) (x + 1) = 0$
$\Rightarrow x = 3, -1$
जब $x = 3,$ तब समी $(i)$ से,
$y = 3^3- (3)\cdot(3)^2 - 9\cdot3 + 7$
$y = 27 - 27 - 27 + 7 = - 20$
जब $x = - 1,$ तब समी $(i)$ से,
$y = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 7$
$y = - 1 - 3 + 9 + 7 = 12$
अतः बिंदुओं $(3, - 20)$ और $(- 1, 12)$ जिन पर स्पर्श रेखाएँ $x-$अक्ष के समांतर हैं।
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