$x-$अक्ष को मूल बिंदु पर स्पर्श करने वाले वृत्तों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।
example-7
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मान लीजिए, $x-$अक्ष को मूल बिंदु पर स्पर्श करने वाले वृत्तों के कुल को $C$ से निर्दिष्ट किया जाता है। $(O, a)$ उस कुल के किसी सदस्य के केंद्र बिंदु के निर्देशांक हैं $($आकृति देखिए$)$।
इसलिए कुल $C$ का समीकरण है:
$x^2 + (y - a)^2 = a^2$ अथवा $x^2 + y^2 = 2ay ...(i)$
जिसमें $a$ एक स्वेच्छ अचर है। समीकरण $(i)$ के दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर प्राप्त करते हैं:
$2 x+2 y \frac{d y}{d x}=2 a \frac{d y}{d x}$
अथवा $x+y \frac{d y}{d x}=a \frac{d y}{d x}$
अथवा $a=\frac{x+y \frac{d y}{d x}}{\frac{d y}{d x}} ...(ii)$
समीकरण $(ii)$ से $a$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर प्राप्त करते हैं:
$x^2 + y^2 =2 y \frac{\left[x+y \frac{d y}{d x}\right]}{\frac{d y}{d x}}$
अथवा $\frac{d y}{d x}\left(x^{2}+y^{2}\right)=2 x y+2 y^{2} \frac{d y}{d x}$
अथवा $\frac{d y}{d x}=\frac{2 x y}{x^{2}-y^{2}}$
यह दिए हुए वृत्तों के कुल का अभीष्ट अवकल समीकरण है।
इसलिए कुल $C$ का समीकरण है:
$x^2 + (y - a)^2 = a^2$ अथवा $x^2 + y^2 = 2ay ...(i)$
जिसमें $a$ एक स्वेच्छ अचर है। समीकरण $(i)$ के दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर प्राप्त करते हैं:
$2 x+2 y \frac{d y}{d x}=2 a \frac{d y}{d x}$
अथवा $x+y \frac{d y}{d x}=a \frac{d y}{d x}$
अथवा $a=\frac{x+y \frac{d y}{d x}}{\frac{d y}{d x}} ...(ii)$
समीकरण $(ii)$ से $a$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर प्राप्त करते हैं:
$x^2 + y^2 =2 y \frac{\left[x+y \frac{d y}{d x}\right]}{\frac{d y}{d x}}$
अथवा $\frac{d y}{d x}\left(x^{2}+y^{2}\right)=2 x y+2 y^{2} \frac{d y}{d x}$
अथवा $\frac{d y}{d x}=\frac{2 x y}{x^{2}-y^{2}}$
यह दिए हुए वृत्तों के कुल का अभीष्ट अवकल समीकरण है।
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