$x-$अक्ष पर स्थित बिंदु $Q$ के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जो बिंदुओं $A(-5, -2)$ और $B(4, -2)$ के लंब समद्विभाजक पर भी स्थित है। बिंदुओं $Q, A$ और $B$ से बनने वाले त्रिभुज का प्रकार भी बताइए।
Exercise-7.3-6
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मान लीजिए $Q(x, 0) x-$अक्ष पर एक बिंदु है जो $AB$ के लंब समद्विभाजक पर स्थित है।
इसलिए, $QA = QB$
$\Rightarrow QA^2 = QB^2$
$\Rightarrow (-5 - x)^2 + (-2 - 0)^2 = (4 - x)^2 + (-2 - 0)^2$
$\Rightarrow (x + 5)^2 + (-2)^2 = (4 - x)^2 + (-2)^2$
$\Rightarrow x^2 + 25 + 10x + 4 = 16 + x^2 - 8x + 4$
$\Rightarrow 10x + 8x = 16 - 25$
$\Rightarrow 18x = -9$
$\Rightarrow x = \frac{-9}{18}=\frac{-1}{2}$
अतः बिंदु $Q$ है $\left(\frac{-1}{2}, 0\right)$
अब, $Q^2 = \left[-5+\frac{1}{2}\right]^{2} + [2 + 0]^2$
$= \left(\frac{-9}{2}\right)^{2}+\frac{4}{1}$
$Q^2 = \frac{81}{4}+\frac{4}{1}=\frac{81+16}{4}=\frac{97}{4}$
$Q = \sqrt{\frac{97}{4}}=\frac{\sqrt{97}}{2}$ इकाइयाँ
अब, $QB^2 = \left(4+\frac{1}{2}\right)^{2} + (2 - 0)^2 = \left(\frac{9}{2}\right)^{2} + (-2)^2$
$QB^2 = \sqrt{\frac{97}{4}}=\frac{\sqrt{97}}{2}$ इकाइयाँ
और $AB = \sqrt{(4+5)^{2}+[-2-(-2)]^{2}}=\sqrt{(9)^{2}} = 9$ इकाइयाँ
$AB = 9$ इकाइयाँ
चूँकि $QA = QB$
अतः, $QAB$ एक समद्विबाहु त्रिभुज़ है।
इसलिए, $QA = QB$
$\Rightarrow QA^2 = QB^2$
$\Rightarrow (-5 - x)^2 + (-2 - 0)^2 = (4 - x)^2 + (-2 - 0)^2$
$\Rightarrow (x + 5)^2 + (-2)^2 = (4 - x)^2 + (-2)^2$
$\Rightarrow x^2 + 25 + 10x + 4 = 16 + x^2 - 8x + 4$
$\Rightarrow 10x + 8x = 16 - 25$
$\Rightarrow 18x = -9$
$\Rightarrow x = \frac{-9}{18}=\frac{-1}{2}$
अतः बिंदु $Q$ है $\left(\frac{-1}{2}, 0\right)$
अब, $Q^2 = \left[-5+\frac{1}{2}\right]^{2} + [2 + 0]^2$
$= \left(\frac{-9}{2}\right)^{2}+\frac{4}{1}$
$Q^2 = \frac{81}{4}+\frac{4}{1}=\frac{81+16}{4}=\frac{97}{4}$
$Q = \sqrt{\frac{97}{4}}=\frac{\sqrt{97}}{2}$ इकाइयाँ
अब, $QB^2 = \left(4+\frac{1}{2}\right)^{2} + (2 - 0)^2 = \left(\frac{9}{2}\right)^{2} + (-2)^2$
$QB^2 = \sqrt{\frac{97}{4}}=\frac{\sqrt{97}}{2}$ इकाइयाँ
और $AB = \sqrt{(4+5)^{2}+[-2-(-2)]^{2}}=\sqrt{(9)^{2}} = 9$ इकाइयाँ
$AB = 9$ इकाइयाँ
चूँकि $QA = QB$
अतः, $QAB$ एक समद्विबाहु त्रिभुज़ है।
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