यदि बिंदु $\mathrm{D}\left(\frac{-1}{2}, \frac{5}{2}\right), E(7, 3)$ और $\mathrm{F}\left(\frac{7}{2}, \frac{7}{2}\right)$ एक त्रिभुज $\text{ABC}$ की भुजाओं के मध्य$-$बिंदु हैं, तो $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Exercise-7.3-16
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प्रश्न के अनुसार, $D\left(\frac{-1}{2}, \frac{5}{2}\right), E(7, 3)$ और $F\left(\frac{7}{2}, \frac{7}{2}\right)$ की भुजाओं के मध्यबिंदु हैं $\triangle ABC,$ का हमें क्षेत्रफल ज्ञात करना होगा,$ \triangle ABC$, में $\text{D, BC}$ का मध्यबिंदु है, $\text{E, AC}$ का मध्यबिंदु है और $\text{F, AB}$ का मध्यबिंदु है।
$\therefore \triangle \mathrm{DEF} \cong \triangle \mathrm{AFE} \cong \triangle \mathrm{FBD} \cong \triangle \mathrm{EDC}$
अतः, $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= 4 (\triangle DEF$ का क्षेत्रफल$)$ की भुजाओं के मध्य$-$बिंदु $\triangle ABC$ द्वारा दिया गया है
$\therefore$ क्षेत्र $\triangle DEF = \frac{1}{2}[x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)]$
$= \frac{1}{2} \left[-\frac{1}{2}\left(3-\frac{7}{2}\right)+7\left(\frac{7}{2}-\frac{5}{2}\right)+\frac{7}{2}\left(\frac{5}{2}-3\right)\right]$
$= \frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2}\left(\frac{-1}{2}\right)+7(1)+\frac{7}{2}\left(\frac{-1}{2}\right)\right]$
$= \frac{1}{2}\left[\frac{1}{4}+7-\frac{7}{4}\right]$
$= \frac{1}{2}\left[\frac{1+28-7}{4}\right]$
$= \frac{1}{2}\left(\frac{29-7}{4}\right)$
$= \frac{22}{8}=\frac{11}{4}$
$\therefore$ क्षेत्र का $\triangle ABC = 4 \times$ क्षेत्र $\times \triangle DEF$
$= 4 \times \frac{11}{4}$
$= 11$ वर्ग इकाई
इसलिए, अभीष्ट क्षेत्रफल $\triangle ABC$ का $11$ वर्ग इकाई है।
$\therefore \triangle \mathrm{DEF} \cong \triangle \mathrm{AFE} \cong \triangle \mathrm{FBD} \cong \triangle \mathrm{EDC}$
अतः, $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= 4 (\triangle DEF$ का क्षेत्रफल$)$ की भुजाओं के मध्य$-$बिंदु $\triangle ABC$ द्वारा दिया गया है
$\therefore$ क्षेत्र $\triangle DEF = \frac{1}{2}[x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)]$
$= \frac{1}{2} \left[-\frac{1}{2}\left(3-\frac{7}{2}\right)+7\left(\frac{7}{2}-\frac{5}{2}\right)+\frac{7}{2}\left(\frac{5}{2}-3\right)\right]$
$= \frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2}\left(\frac{-1}{2}\right)+7(1)+\frac{7}{2}\left(\frac{-1}{2}\right)\right]$
$= \frac{1}{2}\left[\frac{1}{4}+7-\frac{7}{4}\right]$
$= \frac{1}{2}\left[\frac{1+28-7}{4}\right]$
$= \frac{1}{2}\left(\frac{29-7}{4}\right)$
$= \frac{22}{8}=\frac{11}{4}$
$\therefore$ क्षेत्र का $\triangle ABC = 4 \times$ क्षेत्र $\times \triangle DEF$
$= 4 \times \frac{11}{4}$
$= 11$ वर्ग इकाई
इसलिए, अभीष्ट क्षेत्रफल $\triangle ABC$ का $11$ वर्ग इकाई है।
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