f(x) = sin x - cos x, 0 < x < 2$\pi$ के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हों तो, ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम मान, जैसी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए।
Exercise-6.5-3(4)
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दिया गया फलन f(x) = sin x - cos x
0 < x < 2$\pi $
$\therefore$ f$^{\prime}$(x) = cos x + sin x और f$^{\prime \prime}$(x) = - sin x + cos x
न्यूनतम और उच्चतम के लिए f$^{\prime}$(x) = 0 रखने पर,
$\Rightarrow $ cos x + sin x = 0 $\Rightarrow $ $\frac{\sin x}{\cos x}$ = - 1 $\Rightarrow $ tan x = - 1
$\Rightarrow $ x = $\pi$ - $\frac{\pi}{4}$, 2 $\pi-\frac{\pi}{4}$ $\Rightarrow $ x = $\frac{3 \pi}{4}$, $\frac{7 \pi}{4} $; x $\in$ (0, 2$\pi$)
$\therefore$ $\frac{3 \pi}{4}$और $ \frac{7 \pi}{4}$ पर स्थानीय उच्चतम और स्थानीय निम्नतम हो सकता है।
x = $ \frac{3 \pi}{4}$ पर, f$^{\prime \prime}$ $\left(\frac{3 \pi}{4}\right)$ = - sin $\frac{3 \pi}{4}$ + cos $\frac{3 \pi}{4}$
= - sin $\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)$+ cos $\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)$ [$\because$ sin $(\pi-\theta)$ = sin $\theta$ और cos$(\pi-\theta)$ = - cos $\theta$]
= - sin $ \frac{\pi}{4}-\cos \frac{\pi}{4}$ = - $\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}$ = $-\sqrt{2}$ < 0
$\therefore$ x = $\frac{3 \pi}{4}$ उच्चतम का बिंदु है।
x = $ \frac{3 \pi}{4}$ पर उच्चतम मान = f$\left(\frac{3 \pi}{4}\right)$ = sin $ \frac{3 \pi}{4}$ - cos $\frac{3 \pi}{4} $
= sin $\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)$ - cos $\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)$ = sin $\frac{\pi}{4}$ + $\cos \frac{\pi}{4}$
= $\frac{1}{\sqrt{2}}$ + $\frac{1}{\sqrt{2}}$ = $\frac{2}{\sqrt{2}}$ = $\sqrt{2}$
तथा x = $\frac{7 \pi}{4} $ पर, f$^{\prime \prime}$ $ \left(\frac{7 \pi}{4}\right)$ = - sin $\frac{7 \pi}{4}$ + $\cos \frac{7 \pi}{4}$
= - sin $ \left(2 \pi-\frac{\pi}{4}\right)$ + cos $ \left(2 \pi-\frac{\pi}{4}\right)$
= sin $\frac{\pi}{4}$+ $\cos \frac{\pi}{4}$ = $\frac{1}{\sqrt{2}}$ + $\frac{1}{\sqrt{2}}$ = $\sqrt{2}$ > 0
$\therefore$ x = $ \frac{7 \pi}{4}$ न्यूनतम का बिंदु है।
$\therefore$ x = $\frac{7 \pi}{4}$ पर न्यूनतम मान
f$\left(\frac{7 \pi}{4}\right)$ = sin $ \frac{7 \pi}{4}$ - cos $\frac{7 \pi}{4}$ = sin $ \left(2 \pi-\frac{\pi}{4}\right)$ - cos $ \left(2 \pi-\frac{\pi}{4}\right)$
= - sin $ \frac{\pi}{4}$ - cos $\frac{\pi}{4} $= - $\frac{1}{\sqrt{2}}$ - $\frac{1}{\sqrt{2}}$ = - $\sqrt{2} $
0 < x < 2$\pi $
$\therefore$ f$^{\prime}$(x) = cos x + sin x और f$^{\prime \prime}$(x) = - sin x + cos x
न्यूनतम और उच्चतम के लिए f$^{\prime}$(x) = 0 रखने पर,
$\Rightarrow $ cos x + sin x = 0 $\Rightarrow $ $\frac{\sin x}{\cos x}$ = - 1 $\Rightarrow $ tan x = - 1
$\Rightarrow $ x = $\pi$ - $\frac{\pi}{4}$, 2 $\pi-\frac{\pi}{4}$ $\Rightarrow $ x = $\frac{3 \pi}{4}$, $\frac{7 \pi}{4} $; x $\in$ (0, 2$\pi$)
$\therefore$ $\frac{3 \pi}{4}$और $ \frac{7 \pi}{4}$ पर स्थानीय उच्चतम और स्थानीय निम्नतम हो सकता है।
x = $ \frac{3 \pi}{4}$ पर, f$^{\prime \prime}$ $\left(\frac{3 \pi}{4}\right)$ = - sin $\frac{3 \pi}{4}$ + cos $\frac{3 \pi}{4}$
= - sin $\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)$+ cos $\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)$ [$\because$ sin $(\pi-\theta)$ = sin $\theta$ और cos$(\pi-\theta)$ = - cos $\theta$]
= - sin $ \frac{\pi}{4}-\cos \frac{\pi}{4}$ = - $\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}$ = $-\sqrt{2}$ < 0
$\therefore$ x = $\frac{3 \pi}{4}$ उच्चतम का बिंदु है।
x = $ \frac{3 \pi}{4}$ पर उच्चतम मान = f$\left(\frac{3 \pi}{4}\right)$ = sin $ \frac{3 \pi}{4}$ - cos $\frac{3 \pi}{4} $
= sin $\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)$ - cos $\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)$ = sin $\frac{\pi}{4}$ + $\cos \frac{\pi}{4}$
= $\frac{1}{\sqrt{2}}$ + $\frac{1}{\sqrt{2}}$ = $\frac{2}{\sqrt{2}}$ = $\sqrt{2}$
तथा x = $\frac{7 \pi}{4} $ पर, f$^{\prime \prime}$ $ \left(\frac{7 \pi}{4}\right)$ = - sin $\frac{7 \pi}{4}$ + $\cos \frac{7 \pi}{4}$
= - sin $ \left(2 \pi-\frac{\pi}{4}\right)$ + cos $ \left(2 \pi-\frac{\pi}{4}\right)$
= sin $\frac{\pi}{4}$+ $\cos \frac{\pi}{4}$ = $\frac{1}{\sqrt{2}}$ + $\frac{1}{\sqrt{2}}$ = $\sqrt{2}$ > 0
$\therefore$ x = $ \frac{7 \pi}{4}$ न्यूनतम का बिंदु है।
$\therefore$ x = $\frac{7 \pi}{4}$ पर न्यूनतम मान
f$\left(\frac{7 \pi}{4}\right)$ = sin $ \frac{7 \pi}{4}$ - cos $\frac{7 \pi}{4}$ = sin $ \left(2 \pi-\frac{\pi}{4}\right)$ - cos $ \left(2 \pi-\frac{\pi}{4}\right)$
= - sin $ \frac{\pi}{4}$ - cos $\frac{\pi}{4} $= - $\frac{1}{\sqrt{2}}$ - $\frac{1}{\sqrt{2}}$ = - $\sqrt{2} $
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