वक्र $x = t^{2 }+ 3t - 8, y = 2t^{2 }- 2t - 5$ के बिंदु $(2, - 1)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता है
Miscellaneous Exercise-20
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दिया है, $x = t^{2 }+ 3t - 8$ और $y = 2t^2 - 2t - 5 ...(i)$
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\therefore \frac{d x}{d t} 2t + 3$ और $\frac{d y}{d t} = 4t - 2$
$\therefore \frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d t} \times \frac{d t}{d x} = \frac{4 t-2}{2 t+3}$
दिया गया बिंदु $(2, - 1)$ है।
$x = 2$ पर, समी $(i)$ से, $2 = t^{2 }+ 3t - 8$
$\Rightarrow t^{2 }+ 3t - 10 = 0$
$\Rightarrow (t + 5)(t - 2) = 0$
$\Rightarrow t = 2$ या $t = - 5$
$y = - 1$ पर, समी $(i)$ से,$ - 1 = 2t^2 - 2t - 5$
$\Rightarrow 2 t^{2 }- 2t - 4 = 0$
$\Rightarrow (t - 2)(t + 1) = 0$
$\Rightarrow t = 2$ या $t = - 1$
$t$ का उभयनिष्ठ मान $2$ है।
$\therefore$ बिंदु $(2, - 1)$ पर दिए गए वक्र की स्पर्श रेखा की प्रवणता है
$\left(\frac{d y}{d x}\right)_{t=2} = \frac{4 \times 2-2}{2 \times 2+3} = \frac{8-2}{4+3} = \frac{6}{7}$
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\therefore \frac{d x}{d t} 2t + 3$ और $\frac{d y}{d t} = 4t - 2$
$\therefore \frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d t} \times \frac{d t}{d x} = \frac{4 t-2}{2 t+3}$
दिया गया बिंदु $(2, - 1)$ है।
$x = 2$ पर, समी $(i)$ से, $2 = t^{2 }+ 3t - 8$
$\Rightarrow t^{2 }+ 3t - 10 = 0$
$\Rightarrow (t + 5)(t - 2) = 0$
$\Rightarrow t = 2$ या $t = - 5$
$y = - 1$ पर, समी $(i)$ से,$ - 1 = 2t^2 - 2t - 5$
$\Rightarrow 2 t^{2 }- 2t - 4 = 0$
$\Rightarrow (t - 2)(t + 1) = 0$
$\Rightarrow t = 2$ या $t = - 1$
$t$ का उभयनिष्ठ मान $2$ है।
$\therefore$ बिंदु $(2, - 1)$ पर दिए गए वक्र की स्पर्श रेखा की प्रवणता है
$\left(\frac{d y}{d x}\right)_{t=2} = \frac{4 \times 2-2}{2 \times 2+3} = \frac{8-2}{4+3} = \frac{6}{7}$
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