वक्र $y = (x - 2)^{2 }$ पर एक बिंदु ज्ञात कीजिए जिस पर स्पर्श रेखा, बिंदुओं $(2, 0)$ और $(4, 4)$ को मिलाने वाली रेखा के समांतर है।
Exercise-6.3-8
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यदि स्पर्श रेखा बिंदुओं $(2, 0)$ और $(4, 4)$ को मिलाने वाली रेखा के समांतर है, तो स्पर्श रेखा की प्रवणता $=$ दोनों बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा की प्रवणता
बिंदु $(2, 0)$ और $(4, 4)$ को मिलाने वाली रेखा की प्रवणता
$= \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} = \frac{4-0}{4-2}= \frac{4}{2} = 2 ...(i)$
वक्र $y = (x - 2)^2$
अब, दिए गए वक्र पर स्पर्श रेखा की प्रवणता बिंदु $(x, y)$ पर इस प्रकार दी जाती है,
$\frac{d y}{d x} = 2(x - 2)$
अब, समी $(i)$ से, $2(x - 2) = 2$
$\Rightarrow x - 2 = 1$
$\Rightarrow x = 3$
$x = 3,$ तब $y = (3 - 2)^2 = 1 [$वक्र का समीकरण $y = (x - 2)^2]$
अतः आवश्यक बिंदु $(3, 1)$ है।
बिंदु $(2, 0)$ और $(4, 4)$ को मिलाने वाली रेखा की प्रवणता
$= \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} = \frac{4-0}{4-2}= \frac{4}{2} = 2 ...(i)$
वक्र $y = (x - 2)^2$
अब, दिए गए वक्र पर स्पर्श रेखा की प्रवणता बिंदु $(x, y)$ पर इस प्रकार दी जाती है,
$\frac{d y}{d x} = 2(x - 2)$
अब, समी $(i)$ से, $2(x - 2) = 2$
$\Rightarrow x - 2 = 1$
$\Rightarrow x = 3$
$x = 3,$ तब $y = (3 - 2)^2 = 1 [$वक्र का समीकरण $y = (x - 2)^2]$
अतः आवश्यक बिंदु $(3, 1)$ है।
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