बिंदु $A(2, 9), B(a, 5)$ और $C(5, 5)$ एक त्रिभुज $\text{ABC}$ के शीर्ष हैं, जिसका $\angle B$ समकोण है। $a$ के मान ज्ञात कीजिए और फिर $\triangle \text{ABC}$ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Exercise-7.3-17
Download our app for free and get started
$\text{ABC, B}$ पर समकोण है।
इसलिए, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा,
$AB^2 + BC^2 = AC^2 ...(i)$
$AB^2 = (x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2$
$\Rightarrow AB^2 = (a – 2)^2 + (5 – 9)^2$
$\Rightarrow AB^2 = (a)^2 + (2)^2 – 2(a) (2) + (–4)^2$
$= a^2 + 4 – 4a + 16$
$\Rightarrow AB^2 = a^2 – 4a + 20$
$BC^2 = (a – 5)^2 + (5 – 5)^2$
$=(a)^2 + (5)^2 – 2(a)(5) + 0^2$
$\Rightarrow BC^2 = a^2 + 25 – 10a$
$AC^2 = (5 – 2)^2 + (5 – 9)^2$
$= 3^2 + (–4)^2$
$= 9 + 16 = 25$
$\Rightarrow AC = \sqrt{25} = 5$ इकाइयाँ। इसलिए, $a^2 - 4a + 20 + a^2 + 25 - 10a = (5)^2 [$से $(i)]$
$\Rightarrow 2a^2 – 14a + 45 – 25 = 0$
$\Rightarrow 2a^2 – 14a + 20 = 0$
$\Rightarrow a^2 – 7a + 10 = 0$
$\Rightarrow a^2 – 5a – 2a + 10 = 0$
$\Rightarrow a(a – 5) –2 (a – 5) = 0$
$\Rightarrow (a – 5)(a – 2) = 0$
$\Rightarrow a – 5 = 0$ or $a – 2 = 0$
$\Rightarrow a = 5$ or $a = 2$
यदि $a = 5$ तो $B(5, 5)$ और $C(5, 5)$ और $BC = 0,$ जो संभव नहीं है $($क्योंकि यह दी गई शर्तों का खंडन करता है इसलिए $a$ का मान $5$ नहीं हो सकता$)$। इसलिए, $a = 2.$
अब, $AB^2 = a^2 – 4a + 20$
$= (2)^2 – 4(2) + 20$
$= 4 – 8 + 20$
$\Rightarrow AB^2 = 24 – 8$
$\Rightarrow AB^2 = 16$
$\Rightarrow AB = 4$ इकाइयाँ और $BC^2 = a^2 + 25 – 10a$
$= (2)^2 + 25 – 10(2) [a = 2]$
$= 4 + 25 – 20 = 29 – 20 = 9$
$\Rightarrow BC^2 = 9$
$\Rightarrow BC = 3$ इकाइयाँ
अब हम जानते हैं कि समकोण त्रिभुज $\text{ABC}$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2}$आधार $\times$ ऊंचाई
$= \frac{1}{2} \mathrm{BC} \times \mathrm{AE}$
$= \frac{1}{2} \times 3 \times 4$
$= 6$ वर्ग इकाई। अतः $a$ का मान $2$और $\text{ABC}$ का क्षेत्रफल $6$ वर्ग इकाई है।
इसलिए, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा,
$AB^2 + BC^2 = AC^2 ...(i)$
$AB^2 = (x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2$
$\Rightarrow AB^2 = (a – 2)^2 + (5 – 9)^2$
$\Rightarrow AB^2 = (a)^2 + (2)^2 – 2(a) (2) + (–4)^2$
$= a^2 + 4 – 4a + 16$
$\Rightarrow AB^2 = a^2 – 4a + 20$
$BC^2 = (a – 5)^2 + (5 – 5)^2$
$=(a)^2 + (5)^2 – 2(a)(5) + 0^2$
$\Rightarrow BC^2 = a^2 + 25 – 10a$
$AC^2 = (5 – 2)^2 + (5 – 9)^2$
$= 3^2 + (–4)^2$
$= 9 + 16 = 25$
$\Rightarrow AC = \sqrt{25} = 5$ इकाइयाँ। इसलिए, $a^2 - 4a + 20 + a^2 + 25 - 10a = (5)^2 [$से $(i)]$
$\Rightarrow 2a^2 – 14a + 45 – 25 = 0$
$\Rightarrow 2a^2 – 14a + 20 = 0$
$\Rightarrow a^2 – 7a + 10 = 0$
$\Rightarrow a^2 – 5a – 2a + 10 = 0$
$\Rightarrow a(a – 5) –2 (a – 5) = 0$
$\Rightarrow (a – 5)(a – 2) = 0$
$\Rightarrow a – 5 = 0$ or $a – 2 = 0$
$\Rightarrow a = 5$ or $a = 2$
यदि $a = 5$ तो $B(5, 5)$ और $C(5, 5)$ और $BC = 0,$ जो संभव नहीं है $($क्योंकि यह दी गई शर्तों का खंडन करता है इसलिए $a$ का मान $5$ नहीं हो सकता$)$। इसलिए, $a = 2.$
अब, $AB^2 = a^2 – 4a + 20$
$= (2)^2 – 4(2) + 20$
$= 4 – 8 + 20$
$\Rightarrow AB^2 = 24 – 8$
$\Rightarrow AB^2 = 16$
$\Rightarrow AB = 4$ इकाइयाँ और $BC^2 = a^2 + 25 – 10a$
$= (2)^2 + 25 – 10(2) [a = 2]$
$= 4 + 25 – 20 = 29 – 20 = 9$
$\Rightarrow BC^2 = 9$
$\Rightarrow BC = 3$ इकाइयाँ
अब हम जानते हैं कि समकोण त्रिभुज $\text{ABC}$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2}$आधार $\times$ ऊंचाई
$= \frac{1}{2} \mathrm{BC} \times \mathrm{AE}$
$= \frac{1}{2} \times 3 \times 4$
$= 6$ वर्ग इकाई। अतः $a$ का मान $2$और $\text{ABC}$ का क्षेत्रफल $6$ वर्ग इकाई है।
Download our appand get started for free
Experience the future of education. Simply download our apps or reach out to us for more information. Let's shape the future of learning together!No signup needed.*
Similar Questions
- 1वह अनुपात ज्ञात कीजिए, जिसमें रेखा $2x + 3y - 5 = 0,$ बिंदुओं $(8, -9)$ और $(2, 1)$ को मिलाने वाले रेखाखंड को विभाजित करती है। विभाजन बिंदु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।View Solution
- 2एक बिंदु ज्ञात कीजिए, जो $A(-5, 4)$ और $B(-1, 6)$ से समदूरस्थ हो। ऐसे कितने बिंदु हैं?View Solution
- 3$m$ का मान ज्ञात कीजिए, यदि $(5, 1),(-2, -3)$ और $(8, 2m)$ संरेख हैं।View Solution
- 4View Solutionयदि P(9a - 2, -b), बिंदुओं A(3a + 1, -3) और B(8a, 5) को मिलाने वाले रेखाखंड को 3 : 1 के अनुपात में विभाजित करे, तो a और b के मान ज्ञात कीजिए।
- 5किसी वृत्त का केन्द्र $(2a, a - 7)$ है। यदि वृत्त, बिंदु $(11, -9)$ से होकर जाता है और उसका व्यास $10\sqrt{2}$ इकाई है, तो $a$ के मान ज्ञात कीजिए।View Solution
- 6View Solutionशीर्ष A(1, -4) वाले उस त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी A से होकर जाने वाली भुजाओं के मध्य-बिंदु (2, -1) और (0, -1) हैं। शीर्ष A(1, -4) वाले उस त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी A से होकर जाने वाली भुजाओं के मध्य-बिंदु (2, -1) और (0, -1) हैं।
- 7बिंदुओं $A(-5, 6), B(-4, -2)$ और $C(7, 5)$ से बनने वाले त्रिभुज का प्रकार बताइए।View Solution
- 8इसी क्रम में लिए गए बिंदु $A (2, -2), B (7, 3), C (11, -1)$ और $D (6, -6)$ किस प्रकार का चतुर्भुज बनाते हैं?View Solution
- 9यदि बिंदु $\mathrm{D}\left(\frac{-1}{2}, \frac{5}{2}\right), E(7, 3)$ और $\mathrm{F}\left(\frac{7}{2}, \frac{7}{2}\right)$ एक त्रिभुज $\text{ABC}$ की भुजाओं के मध्य$-$बिंदु हैं, तो $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।View Solution
- 10View Solutionबिंदुओं A(3, 2) और B(5, 1) को मिलाने वाला रेखाखंड बिंदु P पर 1 : 2 के अनुपात में विभाजित हो जाता है। तथा बिंदु P रेखा 3x - 18y + k = 0 पर स्थित है। k का मान ज्ञात कीजिए।