यदि किसी बिंदु $P$ से त्रिज्या $a$ और केंद्र $O$ वाले वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $60^\circ$ है, तो $OP = a \sqrt{3}$ होता है।
Exercise-9.2-6
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आइए हम एक वृत्त पर विचार करें जिसका केंद्र $O$ है और स्पर्श रेखाएँ $PT$ और $PR$ हैं और उनके बीच का कोण $60^\circ$ है और वृत्त की त्रिज्या $a$ है।
में $\triangle OTP$ और $\triangle ORP$
$TO = OA$ समान वृत्त की त्रिज्या
$OP = OP$ उभयनिष्ठ
$TP = PR$ किसी वृत्त पर बाह्य बिंदु से जाने वाली स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं
$\triangle OTP \cong \triangle ORP ($साइड$-$साइड मानदंड द्वारा$)$
$\angle TPO + \angle OPR = 60^\circ$
$\angle TPO + \angle TPO = 60^\circ$
$\angle TPO = 30^\circ$
इसलिए $\triangle POT$ एक समकोण त्रिभुज है
और हम जानते हैं कि,
$\sin 30^\circ = \frac{a}{O P}$
$\frac{1}{2}=\frac{a}{O P} $
$\Rightarrow OP = 2a$
अतः उपरोक्त कथन असत्य है।
में $\triangle OTP$ और $\triangle ORP$
$TO = OA$ समान वृत्त की त्रिज्या
$OP = OP$ उभयनिष्ठ
$TP = PR$ किसी वृत्त पर बाह्य बिंदु से जाने वाली स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं
$\triangle OTP \cong \triangle ORP ($साइड$-$साइड मानदंड द्वारा$)$
$\angle TPO + \angle OPR = 60^\circ$
$\angle TPO + \angle TPO = 60^\circ$
$\angle TPO = 30^\circ$
इसलिए $\triangle POT$ एक समकोण त्रिभुज है
और हम जानते हैं कि,
$\sin 30^\circ = \frac{a}{O P}$
$\frac{1}{2}=\frac{a}{O P} $
$\Rightarrow OP = 2a$
अतः उपरोक्त कथन असत्य है।
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