सिद्ध कीजिए कि $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ अपरिमेय संख्या है।
example-1.3-3
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आइये कल्पना करें कि $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या है। मान लीजिए $\sqrt{2}+\sqrt{3} = a,$ जहाँ $a$ एक परिमेय संख्या है।
अतः, $\sqrt{2}=a-\sqrt{3}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें प्राप्त होता है$:-$
$2 = a^{2 }+ 3 - 2a\sqrt{3}$
अत:, $\sqrt{3}=\frac{a^{2}+1}{2 a}$ है, जिससे एक विरोधाभास या अंतर्विरोध $($contradiction$)$ प्राप्त होता है, क्योंकि दायाँ पक्ष एक परिमेय संख्या है जबकि $\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।
अतः, $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ अपरिमेय संख्या है।
अतः, $\sqrt{2}=a-\sqrt{3}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें प्राप्त होता है$:-$
$2 = a^{2 }+ 3 - 2a\sqrt{3}$
अत:, $\sqrt{3}=\frac{a^{2}+1}{2 a}$ है, जिससे एक विरोधाभास या अंतर्विरोध $($contradiction$)$ प्राप्त होता है, क्योंकि दायाँ पक्ष एक परिमेय संख्या है जबकि $\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।
अतः, $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ अपरिमेय संख्या है।
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