$f : {1, 2, 3} \rightarrow {a, b, c}$ तथा $g : {a, b, c} \rightarrow$ {सेब, गेंद, बिल्ली} $f(1) = a, f(2) = b, f(3) = c, g(a) =$ सेब, $g(b) =$ गेंद तथा $g(c) =$ बिल्ली द्वारा परिभाषित फलनों पर विचार कीजिए। सिद्ध कीजिए कि $f, g $और $g\ of$ व्युत्क्रमणीय हैं। f$^{-1}, g^{-1}$ तथा $(gof)^{-1}$ ज्ञात कीजिए तथा प्रमाणित कीजिए कि $(g\ of)^{-1}=f^{-1} o g^{-1}$ है।
example-27
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नोट कीजिए कि परिभाषा द्वारा $f $और $g$ एकैकी आच्छादी फलन हैं। मान लीजिए कि $f^{-1}:\{a, b, c\} \rightarrow(1,2,3\}$ और $g^{-1}$:\{सेब, गेंद, बिल्ली} $\rightarrow\{a, b, c\}$
इस प्रकार परिभाषित हैं कि $f^{-1}\{a\}=1, f^{-1}\{b\}$
$=2, f^{-1}\{c\}=3, g^{-1}$\{ सेब \}$=a, g^{-1}$\{गेंद} $= b$ और $g^{-1 }${बिल्ली} $= c.$
यह सत्यापित करना सरल है कि $f^{-1} \mathrm{of}=\mathrm{I}_{(1,2,3]}, f \circ f^{-1}=\mathrm{I}_{[a, b, c \mid}, g^{-1} \mathrm{og}=\mathrm{I}_{[a, b, c]}$ और $gog^{-1 }= I_D,$
जहाँ $D =$ {सेब, गेंद, बिल्ली}। अब, $g\ of : {1,2,3} \rightarrow$ {सेब, गेंद, बिल्ली} $g\ of(1) =$ सेब,$ g\ of(2) =$ गेंद, $g\ of(3) =$ बिल्ली द्वारा प्रदत्त है।
हम $(gof)^{-1 }:$ सेब, गेंद, बिल्ली} $\rightarrow {1,2,3}$ को $(gof)^{-1}$ (सेब) $= 1,(gof)^{-1}$ (गेंद) $= 2$
तथा $(gof)^{-1}$ (बिल्ली) $= 3$ द्वारा परिभाषित कर सकते हैं। यह सरलता से प्रमाणित किया जा सकता है कि $(gof)^{-1} o (gof) = \mathrm{I}_{[1,2,3]}$ तथा $(gof) o (gof)^{-1 }= I_D$ होगा।
इस प्रकार प्रमाणित होता है कि $f, g$ तथा $gof$ व्युत्क्रमणीय हैं।
अब f$^{-1} \mathrm{og}^{-1} ($सेब$) = f^{-1}(g^{-1} ($सेब$)) = f^{-1 }(a) = 1 = (gof^{-1}($ सेब$)$
$f^{-1} o g^{-1}$ { (गेंद) $= f^{-1 }(g^{-1}$ (गेंद )) $= f^{-1} (b) = 2 = (gof)^{-1}$ (गेंद) तथा
$f^{-1} o g^{-1}$ (बिल्ली) $= f^{-1 }(g^{-1}$ (बिल्ली )) $= f^{-1}(c)=3=(g of)^{-1}$ (बिल्ली)
अतः
$(g o f)^{-1}=f^{-1} o g^{-1}$
उपर्युक्त परिणाम व्यापक स्थिति में भी सत्य होता है।
इस प्रकार परिभाषित हैं कि $f^{-1}\{a\}=1, f^{-1}\{b\}$
$=2, f^{-1}\{c\}=3, g^{-1}$\{ सेब \}$=a, g^{-1}$\{गेंद} $= b$ और $g^{-1 }${बिल्ली} $= c.$
यह सत्यापित करना सरल है कि $f^{-1} \mathrm{of}=\mathrm{I}_{(1,2,3]}, f \circ f^{-1}=\mathrm{I}_{[a, b, c \mid}, g^{-1} \mathrm{og}=\mathrm{I}_{[a, b, c]}$ और $gog^{-1 }= I_D,$
जहाँ $D =$ {सेब, गेंद, बिल्ली}। अब, $g\ of : {1,2,3} \rightarrow$ {सेब, गेंद, बिल्ली} $g\ of(1) =$ सेब,$ g\ of(2) =$ गेंद, $g\ of(3) =$ बिल्ली द्वारा प्रदत्त है।
हम $(gof)^{-1 }:$ सेब, गेंद, बिल्ली} $\rightarrow {1,2,3}$ को $(gof)^{-1}$ (सेब) $= 1,(gof)^{-1}$ (गेंद) $= 2$
तथा $(gof)^{-1}$ (बिल्ली) $= 3$ द्वारा परिभाषित कर सकते हैं। यह सरलता से प्रमाणित किया जा सकता है कि $(gof)^{-1} o (gof) = \mathrm{I}_{[1,2,3]}$ तथा $(gof) o (gof)^{-1 }= I_D$ होगा।
इस प्रकार प्रमाणित होता है कि $f, g$ तथा $gof$ व्युत्क्रमणीय हैं।
अब f$^{-1} \mathrm{og}^{-1} ($सेब$) = f^{-1}(g^{-1} ($सेब$)) = f^{-1 }(a) = 1 = (gof^{-1}($ सेब$)$
$f^{-1} o g^{-1}$ { (गेंद) $= f^{-1 }(g^{-1}$ (गेंद )) $= f^{-1} (b) = 2 = (gof)^{-1}$ (गेंद) तथा
$f^{-1} o g^{-1}$ (बिल्ली) $= f^{-1 }(g^{-1}$ (बिल्ली )) $= f^{-1}(c)=3=(g of)^{-1}$ (बिल्ली)
अतः
$(g o f)^{-1}=f^{-1} o g^{-1}$
उपर्युक्त परिणाम व्यापक स्थिति में भी सत्य होता है।
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