यदि $\triangle \text{PQR}$ की एक भुजा $PQ$ पर $S$ एक ऐसा बिंदु है कि $PS = QS = RS$ है, तो
Exercise-6.1-12
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$\triangle \text{PQR}$ में, दिया है
$\text{PS = QS = RS ...(i)}$
$\triangle \text{PSR}$ में, $PS = RS [$समीकरण से $...(i)]$
$\Rightarrow \angle 1=\angle 2 ...(ii)$
इसी प्रकार, $\triangle \text{RSQ}$ में
$\Rightarrow \angle 3=\angle 4 ...(iii)$
$[$समान भुजाओं के संगत कोण बराबर होते हैं$]$
अब, $\triangle \text{PQR}$ में, कोणों का योग $= 180^\circ$
$\Rightarrow \angle \mathrm{P}+\angle \mathrm{Q}+\angle \mathrm{R} = 180^\circ$
$\Rightarrow \angle 2+\angle 4+\angle 1+\angle 3 = 180^\circ$
$\Rightarrow \angle 1+\angle 3+\angle 1+\angle 3 = 180^\circ$
$\Rightarrow 2(\angle 1+\angle 3) = 180^\circ$
$\Rightarrow \angle 1+\angle 3=\frac{180^{\circ}}{2} = 90^\circ$
$\therefore \angle R = 90^\circ$
$\triangle \text{PQR}$ में पाइथागोरस प्रमेय द्वारा,
$PR^2 + QR^2 = PQ^2$
$\text{PS = QS = RS ...(i)}$
$\triangle \text{PSR}$ में, $PS = RS [$समीकरण से $...(i)]$
$\Rightarrow \angle 1=\angle 2 ...(ii)$
इसी प्रकार, $\triangle \text{RSQ}$ में
$\Rightarrow \angle 3=\angle 4 ...(iii)$
$[$समान भुजाओं के संगत कोण बराबर होते हैं$]$
अब, $\triangle \text{PQR}$ में, कोणों का योग $= 180^\circ$
$\Rightarrow \angle \mathrm{P}+\angle \mathrm{Q}+\angle \mathrm{R} = 180^\circ$
$\Rightarrow \angle 2+\angle 4+\angle 1+\angle 3 = 180^\circ$
$\Rightarrow \angle 1+\angle 3+\angle 1+\angle 3 = 180^\circ$
$\Rightarrow 2(\angle 1+\angle 3) = 180^\circ$
$\Rightarrow \angle 1+\angle 3=\frac{180^{\circ}}{2} = 90^\circ$
$\therefore \angle R = 90^\circ$
$\triangle \text{PQR}$ में पाइथागोरस प्रमेय द्वारा,
$PR^2 + QR^2 = PQ^2$
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