[0, 2$ \pi$] पर x + sin 2x का उच्चतम और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
Exercise-6.5-12
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माना f(x) = x + sin 2x, $\Rightarrow$ f$^{\prime}$(x) = 1 + 2 cos 2x
उच्चतम और न्यूनतम मान के लिए f$^{\prime}$(x) = 0 रखने पर,
$\Rightarrow$ 1 + 2 cos 2x = 0 $\Rightarrow$ cos 2x = - $\frac{1}{2}$
$\Rightarrow $ cos 2x = - cos $ \frac{\pi}{3}$ = cos $ \frac{2 \pi}{3}$
$\Rightarrow $ cos 2x = cos $\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)$, cos $\left(\pi+\frac{\pi}{3}\right)$, cos $ \left(3 \pi-\frac{\pi}{3}\right)$ $\cdot $cos $ \left(3 \pi+\frac{\pi}{3}\right)$ ($\because$ हम जानते हैं कि cos x द्वितीय और तृतीय चतुर्थांश में ऋणात्मक होता है।)
तब 2x = 2 n $\pm$$ \frac{2 \pi}{2}$, n $\in$ Z
$\Rightarrow$ 2x = $\frac{2 \pi}{3}, \frac{4 \pi}{3}, \frac{8 \pi}{3}, \frac{10 \pi}{3}$
$\Rightarrow $ x = $ \frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}, \frac{4 \pi}{3}, \frac{5 \pi}{3} \in[0,2 \pi]$
तब, हम क्रांतिक बिन्दुओं x = $\frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}, \frac{4 \pi}{3}, \frac{5 \pi}{3}$ और अंतराल [0, 2$ \pi$] के अंत बिन्दुओं पर f का मान ज्ञात करते हैं।
x = 0 पर, f(0) = 0 + sin 0 = 0
x = $ \frac{\pi}{3} $ पर, f $\left(\frac{\pi}{3}\right)$ = $\frac{\pi}{3}$ + $\sin \frac{2 \pi}{3}$ = $\frac{\pi}{3}$ + $\sin \frac{\pi}{3}$ = $\frac{\pi}{3}$ + $\frac{\sqrt{3}}{2}$
x = $ \frac{2 \pi}{3}$ पर, f $\left(\frac{2 \pi}{3}\right)$ = $ \frac{2 \pi}{3}$ + $\sin \frac{4 \pi}{3}$ = $\frac{2 \pi}{3}$ - sin $ \frac{\pi}{3}$ = $ \frac{2 \pi}{3}$ - $ \frac{\sqrt{3}}{2}$
x = $ \frac{4 \pi}{3}$ पर, f $ \left(\frac{4 \pi}{3}\right)$ = $ \frac{4 \pi}{3}$ + sin $ \frac{8 \pi}{3}$ = $ \frac{4 \pi}{3}$ + $\sin \frac{2 \pi}{3}$= $\frac{4 \pi}{3}$ + $\frac{\sqrt{3}}{2} $
x = $ \frac{5 \pi}{3} $ पर, f $\left(\frac{5 \pi}{3}\right)$ = $\frac{5 \pi}{3}$ + $\sin \frac{10 \pi}{3}$ = $\frac{5 \pi}{3}$ - sin $ \frac{2 \pi}{3}$ = $\frac{5 \pi}{3}$ - $\frac{\sqrt{3}}{2}$
x = 2 $\pi$ पर, f(2$\pi$) = 2 $\pi$ + sin 4 $\pi$ = 2 $\pi$ + 0 = 2$\pi$
इसलिए x = 2$\pi$ पर f का उच्चतम मान 2 $\pi$ है और x = 0 पर f का न्यूनतम मान 0 है।
उच्चतम और न्यूनतम मान के लिए f$^{\prime}$(x) = 0 रखने पर,
$\Rightarrow$ 1 + 2 cos 2x = 0 $\Rightarrow$ cos 2x = - $\frac{1}{2}$
$\Rightarrow $ cos 2x = - cos $ \frac{\pi}{3}$ = cos $ \frac{2 \pi}{3}$
$\Rightarrow $ cos 2x = cos $\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)$, cos $\left(\pi+\frac{\pi}{3}\right)$, cos $ \left(3 \pi-\frac{\pi}{3}\right)$ $\cdot $cos $ \left(3 \pi+\frac{\pi}{3}\right)$ ($\because$ हम जानते हैं कि cos x द्वितीय और तृतीय चतुर्थांश में ऋणात्मक होता है।)
तब 2x = 2 n $\pm$$ \frac{2 \pi}{2}$, n $\in$ Z
$\Rightarrow$ 2x = $\frac{2 \pi}{3}, \frac{4 \pi}{3}, \frac{8 \pi}{3}, \frac{10 \pi}{3}$
$\Rightarrow $ x = $ \frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}, \frac{4 \pi}{3}, \frac{5 \pi}{3} \in[0,2 \pi]$
तब, हम क्रांतिक बिन्दुओं x = $\frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}, \frac{4 \pi}{3}, \frac{5 \pi}{3}$ और अंतराल [0, 2$ \pi$] के अंत बिन्दुओं पर f का मान ज्ञात करते हैं।
x = 0 पर, f(0) = 0 + sin 0 = 0
x = $ \frac{\pi}{3} $ पर, f $\left(\frac{\pi}{3}\right)$ = $\frac{\pi}{3}$ + $\sin \frac{2 \pi}{3}$ = $\frac{\pi}{3}$ + $\sin \frac{\pi}{3}$ = $\frac{\pi}{3}$ + $\frac{\sqrt{3}}{2}$
x = $ \frac{2 \pi}{3}$ पर, f $\left(\frac{2 \pi}{3}\right)$ = $ \frac{2 \pi}{3}$ + $\sin \frac{4 \pi}{3}$ = $\frac{2 \pi}{3}$ - sin $ \frac{\pi}{3}$ = $ \frac{2 \pi}{3}$ - $ \frac{\sqrt{3}}{2}$
x = $ \frac{4 \pi}{3}$ पर, f $ \left(\frac{4 \pi}{3}\right)$ = $ \frac{4 \pi}{3}$ + sin $ \frac{8 \pi}{3}$ = $ \frac{4 \pi}{3}$ + $\sin \frac{2 \pi}{3}$= $\frac{4 \pi}{3}$ + $\frac{\sqrt{3}}{2} $
x = $ \frac{5 \pi}{3} $ पर, f $\left(\frac{5 \pi}{3}\right)$ = $\frac{5 \pi}{3}$ + $\sin \frac{10 \pi}{3}$ = $\frac{5 \pi}{3}$ - sin $ \frac{2 \pi}{3}$ = $\frac{5 \pi}{3}$ - $\frac{\sqrt{3}}{2}$
x = 2 $\pi$ पर, f(2$\pi$) = 2 $\pi$ + sin 4 $\pi$ = 2 $\pi$ + 0 = 2$\pi$
इसलिए x = 2$\pi$ पर f का उच्चतम मान 2 $\pi$ है और x = 0 पर f का न्यूनतम मान 0 है।
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