$1$ से $500$ तक के सभी पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जो $2$ या $5$ के गुणज हैं। $[$संकेत: ये संख्याएँ होंगी: $2$ के गुणज $+ 5$ के गुणज $- 2$ के गुणज और साथ ही $5$ का भी$]$
Exercise-5.4-2(3)
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$1$ से $500$ तक के पूर्णांक, जो $2$ के गुणज हैं, $2, 4, 6, 8$ हैं।
यह एक $AP$ बनाता है, जिसमें $a = 2, d = 2$ और $l = 500$ है,
मान लीजिए इन पदों की संख्या n है।
तब, $a_n = 500$
$\Rightarrow a + (n - 1)d = 500$
$\Rightarrow 2 + (n - 1)(2) = 500$
$\Rightarrow (n - 1)(2) = 498$
$\Rightarrow n - 1 = 249$
$\Rightarrow n = 250$
$\Rightarrow S_{250} = \frac {250}2 [2 \times 2 + 249 \times 2]$
$= 125 \times [4 + 498]$
$= 125 \times 502$
$= 62,750$
$1$ से $500$ जो $5$ के गुणज हैं
पूर्णांक हैं $5, 10, 15, 20, ...$
$a = 5, d = 5$ और $l = 500$
$\Rightarrow a_n = 500$
$\Rightarrow a + (n - 1)d = 500$
$\Rightarrow 5 + (n - 1)(5) = 500$
$\Rightarrow (n - 1)(5) = 495$
$\Rightarrow n - 1 = 99$
$\Rightarrow n = 100$
$\Rightarrow S_{100} = \frac {100}2 [2 \times 5 + 99 \times 5]$
$= 50 \times [10 + 495]$
$= 50 \times 505$
$= 25250$
फिर से, $10$ के गुणज दोनों में शामिल होते हैं, अर्थात $2$ के गुणज और $5$ के गुणज भी।
$1$ से $500$ तक के पूर्णांक, जो $10$ के गुणज हैं, $10, 20, .., 500$ हैं।
यह एक $AP$ बनाता है, जिसमें $a = 10, d = 10$ और $l = 500$ है
$a_n = 500$
$\Rightarrow a + (n - 1)d = 500$
$\Rightarrow 10 + (n - 1)(10) = 500$
$\Rightarrow (n - 1)(10) = 490$
$\Rightarrow n - 1 = 49$
$\Rightarrow n = 50$
$\Rightarrow S_{50} = \frac {50}2 [2 \times 10 + 49 \times 10]$
$= 25 \times [20 + 490]$
$= 25 \times 510$
$= 12750$
अब, $1$ से $500$ तक के सभी पूर्णांकों का योग जो $2$ या $5$ के गुणज हैं
$= (1$ से $500$ तक के सभी पूर्णांकों का योग जो $2$ के गुणज हैं $+ 1$ से $500$ तक के सभी पूर्णांकों का योग जो $5$ के गुणज हैं $-$योग $1$ से $500$ तक के सभी पूर्णांकों में से जो $2$ और $5$ के गुणज हैं $)$
$= 62750 + 25250 - 12750$
$= 75250$
यह एक $AP$ बनाता है, जिसमें $a = 2, d = 2$ और $l = 500$ है,
मान लीजिए इन पदों की संख्या n है।
तब, $a_n = 500$
$\Rightarrow a + (n - 1)d = 500$
$\Rightarrow 2 + (n - 1)(2) = 500$
$\Rightarrow (n - 1)(2) = 498$
$\Rightarrow n - 1 = 249$
$\Rightarrow n = 250$
$\Rightarrow S_{250} = \frac {250}2 [2 \times 2 + 249 \times 2]$
$= 125 \times [4 + 498]$
$= 125 \times 502$
$= 62,750$
$1$ से $500$ जो $5$ के गुणज हैं
पूर्णांक हैं $5, 10, 15, 20, ...$
$a = 5, d = 5$ और $l = 500$
$\Rightarrow a_n = 500$
$\Rightarrow a + (n - 1)d = 500$
$\Rightarrow 5 + (n - 1)(5) = 500$
$\Rightarrow (n - 1)(5) = 495$
$\Rightarrow n - 1 = 99$
$\Rightarrow n = 100$
$\Rightarrow S_{100} = \frac {100}2 [2 \times 5 + 99 \times 5]$
$= 50 \times [10 + 495]$
$= 50 \times 505$
$= 25250$
फिर से, $10$ के गुणज दोनों में शामिल होते हैं, अर्थात $2$ के गुणज और $5$ के गुणज भी।
$1$ से $500$ तक के पूर्णांक, जो $10$ के गुणज हैं, $10, 20, .., 500$ हैं।
यह एक $AP$ बनाता है, जिसमें $a = 10, d = 10$ और $l = 500$ है
$a_n = 500$
$\Rightarrow a + (n - 1)d = 500$
$\Rightarrow 10 + (n - 1)(10) = 500$
$\Rightarrow (n - 1)(10) = 490$
$\Rightarrow n - 1 = 49$
$\Rightarrow n = 50$
$\Rightarrow S_{50} = \frac {50}2 [2 \times 10 + 49 \times 10]$
$= 25 \times [20 + 490]$
$= 25 \times 510$
$= 12750$
अब, $1$ से $500$ तक के सभी पूर्णांकों का योग जो $2$ या $5$ के गुणज हैं
$= (1$ से $500$ तक के सभी पूर्णांकों का योग जो $2$ के गुणज हैं $+ 1$ से $500$ तक के सभी पूर्णांकों का योग जो $5$ के गुणज हैं $-$योग $1$ से $500$ तक के सभी पूर्णांकों में से जो $2$ और $5$ के गुणज हैं $)$
$= 62750 + 25250 - 12750$
$= 75250$
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