दर्शाइए कि उस $AP$ का योग, जिसका प्रथम पद $a,$ द्वितीय पद $b$ और अंतिम पद $c$ हो, $\frac{(a+c)(b+c-2 a)}{2(b-a)}$ के बराबर है।
Exercise-5.4-7
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मान लीजिए दिए गए $AP$ में $n$ पद
हैं, पहला पद $= a,$ दूसरा पद $= b$
$\therefore$ सार्व अंतर $d = b - a$
दिया गया है कि अंतिम पद $c$ है अर्थात $n$ वाँ पद $a_{n }= c$ है।
$a_n = a + (n - 1)d$
$\therefore C = a + (n - 1)d$
$\Rightarrow C = a + (n - 1) (b - a)$
$\Rightarrow (C - a) = (n - 1) (b - a)$
$\Rightarrow n - 1 = \frac{c-a}{b-a}$
$\Rightarrow n = \frac{c-a}{b-a} + 1$
$\Rightarrow n = \frac{c-a+b-a}{b-a}$
$\Rightarrow n = \frac{b+c-2 a}{b-a} ...(i)$
मान लीजिए $S_n, AP$ के $n$ पदों का योग है तो,
$S_{n }= \frac{(a+c)(b+c-2 a)}{2(b-a)} [(i)$ का उपयोग करना$]$
हैं, पहला पद $= a,$ दूसरा पद $= b$
$\therefore$ सार्व अंतर $d = b - a$
दिया गया है कि अंतिम पद $c$ है अर्थात $n$ वाँ पद $a_{n }= c$ है।
$a_n = a + (n - 1)d$
$\therefore C = a + (n - 1)d$
$\Rightarrow C = a + (n - 1) (b - a)$
$\Rightarrow (C - a) = (n - 1) (b - a)$
$\Rightarrow n - 1 = \frac{c-a}{b-a}$
$\Rightarrow n = \frac{c-a}{b-a} + 1$
$\Rightarrow n = \frac{c-a+b-a}{b-a}$
$\Rightarrow n = \frac{b+c-2 a}{b-a} ...(i)$
मान लीजिए $S_n, AP$ के $n$ पदों का योग है तो,
$S_{n }= \frac{(a+c)(b+c-2 a)}{2(b-a)} [(i)$ का उपयोग करना$]$
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