किसी $AP$ का $8$वाँ पद उसके दूसरे पद का आधा है तथा $11$वाँ पद उसके चौथे पद के एक तिहाई से $1$ अधिक है। $15$वाँ पद ज्ञात कीजिए।
Exercise-5.4-3
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मान लीजिए $a$ पहला पद है और $d$ दिए गए $AP$ का सार्व अंतर है
तो, $8$वाँ पद $= a_8 = a + 7d$ और दूसरा पद $= a_2 = a + d$
दी गई जानकारी के अनुसार,
$a_8 = \frac {a_2}2$
$\Rightarrow 2a_8 = a_2$
$\Rightarrow_{ }2(a + 7d) = a + d$
$\Rightarrow a + 13d = 0 ...(i)$
अब, $11$वाँ पद $= a_{11} = a + 10d$ और $4$वाँ पद $= a_4 = a + 3d$
दी गई जानकारी के अनुसार,
$a_{11} - \frac {a_4}3 = 1$
$\Rightarrow 3a_{11} - a_4 = 3$
$\Rightarrow 3(a + 10d) - (a + 3d) = 3$
$\Rightarrow 3a + 30d - a - 3d = 3$
$\Rightarrow 2a + 27d = 3 ...(ii)$
समीकरण $(i)$ को $2$ से गुणा करने पर, हमें
$2a + 26d = 0 ...(iii)$
$(ii)$ से $(ii)$ घटाने पर $d = 3$ प्राप्त होता है।
$\Rightarrow a + 13(3) = 0$
$\Rightarrow a = -39$
अब, $15$वाँ पद $= a_{15} = a + 14d = -39 + 14(3) = -39 + 42 = 3$
अत: $15$वाँ पद $3$ है।
तो, $8$वाँ पद $= a_8 = a + 7d$ और दूसरा पद $= a_2 = a + d$
दी गई जानकारी के अनुसार,
$a_8 = \frac {a_2}2$
$\Rightarrow 2a_8 = a_2$
$\Rightarrow_{ }2(a + 7d) = a + d$
$\Rightarrow a + 13d = 0 ...(i)$
अब, $11$वाँ पद $= a_{11} = a + 10d$ और $4$वाँ पद $= a_4 = a + 3d$
दी गई जानकारी के अनुसार,
$a_{11} - \frac {a_4}3 = 1$
$\Rightarrow 3a_{11} - a_4 = 3$
$\Rightarrow 3(a + 10d) - (a + 3d) = 3$
$\Rightarrow 3a + 30d - a - 3d = 3$
$\Rightarrow 2a + 27d = 3 ...(ii)$
समीकरण $(i)$ को $2$ से गुणा करने पर, हमें
$2a + 26d = 0 ...(iii)$
$(ii)$ से $(ii)$ घटाने पर $d = 3$ प्राप्त होता है।
$\Rightarrow a + 13(3) = 0$
$\Rightarrow a = -39$
अब, $15$वाँ पद $= a_{15} = a + 14d = -39 + 14(3) = -39 + 42 = 3$
अत: $15$वाँ पद $3$ है।
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