$100$ और $200$ के बीच उन पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जो $9$ से विभाज्य नहीं हैं।
Exercise-5.4-5(2)
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प्रश्न के अनुसार, हमें $100$ और $200$ के बीच के उन पूर्णांकों का योग ज्ञात करना है जो $9$ से विभाज्य नहीं हैं।
$100 $ और $200$ के बीच की संख्याएँ $= 101, 102, 103, …199$
यहाँ, $a = 101, d = 1, a_n = 199$
$\Rightarrow a + (n - 1)d = 199$
$\Rightarrow 101 + (n - 1)(1) = 199$
$\Rightarrow (n - 1) = 199 - 101 = 98$
$\Rightarrow n = 99$
अब, $S_{99} = \frac {99}2[2 \times 101 + (99 - 1)(1)] [\because S_n = \frac n2[2a + (n - 1)d]$
$= \frac {99}2[202 + 98]$
$= \frac {99}2 \times 300$
$= 99 \times 150 = 14850$
अब $100$ और $200$ के बीच की उन संख्याओं का योग जो $9$ से विभाज्य हैं, $108, 117, 126.... 198$ इत्यादि द्वारा दिया जाता है।
तो $a = 108, d = 9, l = 198, n = ?$
$n$वाँ पद $= a + (n - 1)d$
$198 = 108 + (n - 1)9$
$198 = 108 + 9n - 9$
$198 - 99 = 9n$
$\frac {99}9 = n$
$n = 11$
अब, प्रथम $11$ पदों का योग, $S^\prime_{11} = \frac {11}2[2 \times 108 + (11 - 1)9]$
$= \frac {11}2(306) = 1683$
इसलिए, $100$ और $200$ के बीच पूर्णांकों का योग जो $9$ से विभाज्य नहीं हैं
$= S_{99} - S^\prime_{11}$
$= 14850 - 1683$
$= 13167$
$100 $ और $200$ के बीच की संख्याएँ $= 101, 102, 103, …199$
यहाँ, $a = 101, d = 1, a_n = 199$
$\Rightarrow a + (n - 1)d = 199$
$\Rightarrow 101 + (n - 1)(1) = 199$
$\Rightarrow (n - 1) = 199 - 101 = 98$
$\Rightarrow n = 99$
अब, $S_{99} = \frac {99}2[2 \times 101 + (99 - 1)(1)] [\because S_n = \frac n2[2a + (n - 1)d]$
$= \frac {99}2[202 + 98]$
$= \frac {99}2 \times 300$
$= 99 \times 150 = 14850$
अब $100$ और $200$ के बीच की उन संख्याओं का योग जो $9$ से विभाज्य हैं, $108, 117, 126.... 198$ इत्यादि द्वारा दिया जाता है।
तो $a = 108, d = 9, l = 198, n = ?$
$n$वाँ पद $= a + (n - 1)d$
$198 = 108 + (n - 1)9$
$198 = 108 + 9n - 9$
$198 - 99 = 9n$
$\frac {99}9 = n$
$n = 11$
अब, प्रथम $11$ पदों का योग, $S^\prime_{11} = \frac {11}2[2 \times 108 + (11 - 1)9]$
$= \frac {11}2(306) = 1683$
इसलिए, $100$ और $200$ के बीच पूर्णांकों का योग जो $9$ से विभाज्य नहीं हैं
$= S_{99} - S^\prime_{11}$
$= 14850 - 1683$
$= 13167$
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