किसी $AP$ में चार क्रमागत संख्याओं का योग $32$ है तथा पहले और अंतिम संख्याओं के गुणफल और दो मध्य संख्याओं के गुणफल का अनुपात $7:15$ है। वे संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
example-5.4-1
Download our app for free and get started
मान लीजिए कि $AP$ में चारों क्रमागत संख्याएँ
$a - 3d, a - d, a + d, a + 3d$
अत:, $a - 3d + a - d + a + d + a + 3d = 32$
$4a = 32$
$a = 8$
साथ ही, $\frac{(a-3 d)(a+3 d)}{(a-d)(a+d)}=\frac{7}{15}$
या, $\frac{a^{2}-9 d^{2}}{a^{2}-d^{2}}=\frac{7}{15}$
अर्थात्, $15a^{2 }- 135d^{2 }= 7a^{2 }- 7d^2$
या, $8a^{2 }- 128d^{2 }= 0$
या, $d^{2 }= \frac{8 \times 8 \times 8}{128} = 4$
$d = \pm 2$
अत:, जब $a = 8$ है, और $d = 2$ है तो वाँछित संख्याएँ $2, 6, 10, 14$ हैं।
$a - 3d, a - d, a + d, a + 3d$
अत:, $a - 3d + a - d + a + d + a + 3d = 32$
$4a = 32$
$a = 8$
साथ ही, $\frac{(a-3 d)(a+3 d)}{(a-d)(a+d)}=\frac{7}{15}$
या, $\frac{a^{2}-9 d^{2}}{a^{2}-d^{2}}=\frac{7}{15}$
अर्थात्, $15a^{2 }- 135d^{2 }= 7a^{2 }- 7d^2$
या, $8a^{2 }- 128d^{2 }= 0$
या, $d^{2 }= \frac{8 \times 8 \times 8}{128} = 4$
$d = \pm 2$
अत:, जब $a = 8$ है, और $d = 2$ है तो वाँछित संख्याएँ $2, 6, 10, 14$ हैं।
Download our appand get started for free
Experience the future of education. Simply download our apps or reach out to us for more information. Let's shape the future of learning together!No signup needed.*
Similar Questions
- 1किसी $AP$ का $8$वाँ पद उसके दूसरे पद का आधा है तथा $11$वाँ पद उसके चौथे पद के एक तिहाई से $1$ अधिक है। $15$वाँ पद ज्ञात कीजिए।View Solution
- 2समीकरण $1 + 4 + 7 + 10 + ... + x = 287$ को हल कीजिए।View Solution
- 3$1$ से $500$ तक के सभी पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जो $2$ या $5$ के गुणज हैं। $[$संकेत: ये संख्याएँ होंगी: $2$ के गुणज $+ 5$ के गुणज $- 2$ के गुणज और साथ ही $5$ का भी$]$View Solution
- 4किसी $AP$ के प्रथम पाँच पदों के योग और उसी $AP$ के प्रथम सात पदों के योग का योग $167$ है। यदि इस $AP$ के प्रथम दस पदों का योग $235$ है, तो इसके प्रथम $20$ पदों का योग ज्ञात कीजिए।View Solution
- 5$100$ और $200$ के बीच के उन पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जो $9$ से विभाज्य हैं?View Solution
- 6$100$ और $200$ के बीच उन पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जो $9$ से विभाज्य नहीं हैं।View Solution
- 7$1$ और $500$ के बीच सभी पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जो $2$ और $5$ के भी गुणज हों।View Solution
- 8$1$ से $500$ तक के उन पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जो $2$ और $5$ के भी गुणज हैं।View Solution
- 9किसी स्कूल के विद्यार्थियों ने, स्कूल के वार्षिक दिवस के उपलक्ष्य में, स्कूल के सीधे मार्ग पर रंगीन झंडियाँ लगाकर स्कूल को सजाने का निर्णय लिया। उनके पास $27$ झंडियाँ थीं जिन्हें प्रत्येक $2$ मीटर के अंतराल पर लगाया जाना है। इन झंडियों को बीचो$-$बीच की झंडी के स्थान पर एकत्रित कर लिया जाता है। झंडियाँ लगाने का कार्य रुचि को सौंपा गया। रुचि ने अपनी पुस्तकें वहीं रख दीं जहाँ झंडियों को एकत्रित किया गया था। वह एक बार में केवल एक ही झंडी ले जा सकती है। उसने इस कार्य को पूरा करने तथा अपनी पुस्तकें ले आने के लिए कुल कितनी दूरी तय की? एक झंडी हाथ में लिए हुए आते अधिकतम कितनी दूरी तय की?View Solution
- 10दर्शाइए कि उस $AP$ का योग, जिसका प्रथम पद $a,$ द्वितीय पद $b$ और अंतिम पद $c$ हो, $\frac{(a+c)(b+c-2 a)}{2(b-a)}$ के बराबर है।View Solution