$200$ लट्ठों $($logs$)$ को ढेरी के रूप में इस प्रकार रखा जाता है : सबसे नीचे वाली पंक्ति में $20$ लट्टे, उससे अगली पंक्ति में $19$ लट्ठे, उससे अगली पंक्ति में $18$ लट्ठे इत्यादि $($देखिए संलग्न आकृति$)$। ये $200$ लट्ठे कितनी पंक्तियों में रखे गये हैं तथा सबसे ऊपरी पंक्ति में कितने लट्ठे हैं?
Exercise-5.3-19
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सबसे नीचे की पंक्ति में $= 20$ लट्ठे
अगली पंक्ति में $= 19$ लट्ठे
उससे अगली पंक्ति में $= 18$ लट्ठे
और इसी प्रकार आगे,
अत: $20, 19, 18, ...$ एक $A.P.$ बनाते हैं।
यहाँ पर $a_1 = 20, d = 19 - 20 = (-1)$
$S_n = 200$
$S_n =\frac{{n}}{2}[2a_1 + (n -1)d]$
$\Rightarrow 200 =\frac{n}{2}[2\times 20 + (n - 1)(-1)]$
$\Rightarrow 400 = n[40 - n + 1]$
$\Rightarrow 400 = n[41 - n]$
$\Rightarrow 400 = 41n - n^2$
$\Rightarrow n^2 - 41n + 400 = 0$
$\Rightarrow n^2 - 25n - 16n + 400 = 0$
$\Rightarrow n(n - 25) - 16(n - 25) = 0$
$\Rightarrow (n - 25)(n - 16)$
$\Rightarrow n - 25 = 0, n - 16 = 0$
$\Rightarrow n - 25 = 0$ or $n - 16$
$\Rightarrow n = 25, n = 16$
$n = 25$
$a_{25} = a_1 + (25 - 1)d$
$= 20 + 24\times (-1)$
$= 20 - 24 = -4$
यह असंभव है
$a_{16} = a_1 + (16 - 1)d$
$= 20 + 15\times (-1)$
$= 20 - 15 = 5$
अतः अभीष्ट पंक्तियों की संख्या $16$ हैं और सबसे ऊपर वाली पंक्ति में $5$ लट्ठे हैं।
अगली पंक्ति में $= 19$ लट्ठे
उससे अगली पंक्ति में $= 18$ लट्ठे
और इसी प्रकार आगे,
अत: $20, 19, 18, ...$ एक $A.P.$ बनाते हैं।
यहाँ पर $a_1 = 20, d = 19 - 20 = (-1)$
$S_n = 200$
$S_n =\frac{{n}}{2}[2a_1 + (n -1)d]$
$\Rightarrow 200 =\frac{n}{2}[2\times 20 + (n - 1)(-1)]$
$\Rightarrow 400 = n[40 - n + 1]$
$\Rightarrow 400 = n[41 - n]$
$\Rightarrow 400 = 41n - n^2$
$\Rightarrow n^2 - 41n + 400 = 0$
$\Rightarrow n^2 - 25n - 16n + 400 = 0$
$\Rightarrow n(n - 25) - 16(n - 25) = 0$
$\Rightarrow (n - 25)(n - 16)$
$\Rightarrow n - 25 = 0, n - 16 = 0$
$\Rightarrow n - 25 = 0$ or $n - 16$
$\Rightarrow n = 25, n = 16$
$n = 25$
$a_{25} = a_1 + (25 - 1)d$
$= 20 + 24\times (-1)$
$= 20 - 24 = -4$
यह असंभव है
$a_{16} = a_1 + (16 - 1)d$
$= 20 + 15\times (-1)$
$= 20 - 15 = 5$
अतः अभीष्ट पंक्तियों की संख्या $16$ हैं और सबसे ऊपर वाली पंक्ति में $5$ लट्ठे हैं।
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