एक फुटबॉल के मैदान में एक छोटा चबूतरा है, जिसमें $15$ सीढ़ियाँ बनी हुई हैं। इन सीढ़ियों में से प्रत्येक की लम्बाई $50 m$ है और वह ठोस कंक्रीट $($Concrete$)$ की बनी है। प्रत्येक सीढ़ी में $\frac{1}{4} m$ की चढ़ाई है और $\frac{1}{2} m$ का फैलाव $($चौड़ाई$)$ है $($देखिए आकृति$)$। इस चबूतरे को बनाने में लगी कुल कंक्रीट का आयतन परिकलित कीजिए।
$[$संकेत: पहली सीढ़ी को बनाने में लगी कंक्रीट का आयतन $=\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} \times 50 \mathrm{~m}^{3}$ है।]
$[$संकेत: पहली सीढ़ी को बनाने में लगी कंक्रीट का आयतन $=\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} \times 50 \mathrm{~m}^{3}$ है।]
Exercise-5.4-5
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पहली सीढ़ी बनवाने में लगे कंक्रीट का आयतन $=\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} \times 50 \mathrm{~m}^{3}$
दूसरी सीढ़ी बनवाने में लगे कंक्रीट का आयतन $=2 \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} \times 50 \mathrm{~m}^{3}$
दूसरी सीढ़ी बनवाने में लगे कंक्रीट का आयतन $=3 \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} \times 50 \mathrm{~m}^{3}$
$15$वीं सीढ़ी बनवाने में लगे कंक्रीट का कुल आयतन $=15 \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} \times 50 \mathrm{~m}^{3}$
अतः टैरस को बनवाने में लगे कंक्रीट का कुल आयतन
$=\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} \times 50+2 \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} \times 50+3 \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} \times 50+\ldots+15 \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} \times 50$
$=\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} \times 50 [1 + 2 + 3 + ... + 15]$
$=\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} \times 50 \times\left[\frac{15}{2}(1+15)\right] [\because S_n =\frac{n}{2}(a_1 + a_n)]$
$=\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} \times 50 \times \frac{15}{2} \times 16$
$= 750 m^3$
दूसरी सीढ़ी बनवाने में लगे कंक्रीट का आयतन $=2 \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} \times 50 \mathrm{~m}^{3}$
दूसरी सीढ़ी बनवाने में लगे कंक्रीट का आयतन $=3 \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} \times 50 \mathrm{~m}^{3}$
$15$वीं सीढ़ी बनवाने में लगे कंक्रीट का कुल आयतन $=15 \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} \times 50 \mathrm{~m}^{3}$
अतः टैरस को बनवाने में लगे कंक्रीट का कुल आयतन
$=\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} \times 50+2 \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} \times 50+3 \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} \times 50+\ldots+15 \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} \times 50$
$=\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} \times 50 [1 + 2 + 3 + ... + 15]$
$=\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} \times 50 \times\left[\frac{15}{2}(1+15)\right] [\because S_n =\frac{n}{2}(a_1 + a_n)]$
$=\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} \times 50 \times \frac{15}{2} \times 16$
$= 750 m^3$
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