किसी $A.P.$ के तीसरे और सातवें पदों का योग $6$ है और उनका गुणनफल $8$ है। इस $A.P.$ के प्रथम $16$ पदों का योग ज्ञात कीजिए।
Exercise-5.4-2
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माना एक $A.P.$ का प्रथम पद $a_1$ तथा सार्व अंतर $d$ है, तब,
प्रश्नानुसार,
$a_3 = a_1 + 2d$
$a_7 = a_1 + 6d$
$a_3 + a_7 = a_1 2d + a_1 + 6d$
$= 2a_1 8d = 6 ...(i)$
$a_3\times a_7 = (a_1 + 2d)\times (a_1 + 6d)$
$= a_1^2 + 8a_1d + 12d^2 = 8 ...(ii)$
$a_1 + 4d = 3$
$a_1 = 3 - 4d ...(iii)$
$a_1$ का मान $(ii)$ में रखने पर, हम प्राप्त करते हैं
$(3 - 4d)^2 + 8(3 - 4d)d + 12d^2 = 8$
$\Rightarrow 9 - 24d + 16d^2 + 24d - 32d^2 + 12d^2 = 8$
$\Rightarrow -4d^2 + 1 = 0$
$\Rightarrow d = \frac {1}{4}$
$d = \pm \frac{1}{2}$
$d$ का मान $(iii)$ में रखने पर, हम प्राप्त करते हैं
$a_1 = 3 - 4\times \frac{1}{2} = 3 - 2 = 1 [$ जब $d =\frac{1}{2}]$
$a_1 = 3 - 4\times \left(-\frac{1}{2}\right) = 3 + 2 = 5 [$ जब $d =-\frac{1}{2}]$
जब $a_1 = 1, d = \frac{1}{2}$
$S_{16} = \frac{16}{2}\left[2 \times 1+(16-1) \times \frac{1}{2}\right]$
$= 8\left[2+\frac{15}{2}\right]$
$= 8\left[\frac{4+15}{2}\right]^{2}=8 \times \frac{19}{2}$
$4\times 19 = 76$
जब $a_1 = 5, d = -\frac{1}{2}$
$S_{16} = \frac{16}{2}\left[2 \times 5+(16-1)\left(-\frac{1}{2}\right)\right]$
$= 8\left[10-\frac{15}{2}\right]$
$= 8\left[\frac{20-15}{2}\right]^{2}=8 \times \frac{5}{2}$
$= 4\times 5 = 20$
अतः $a_{16} = 20$ या $76$ है।
प्रश्नानुसार,
$a_3 = a_1 + 2d$
$a_7 = a_1 + 6d$
$a_3 + a_7 = a_1 2d + a_1 + 6d$
$= 2a_1 8d = 6 ...(i)$
$a_3\times a_7 = (a_1 + 2d)\times (a_1 + 6d)$
$= a_1^2 + 8a_1d + 12d^2 = 8 ...(ii)$
$a_1 + 4d = 3$
$a_1 = 3 - 4d ...(iii)$
$a_1$ का मान $(ii)$ में रखने पर, हम प्राप्त करते हैं
$(3 - 4d)^2 + 8(3 - 4d)d + 12d^2 = 8$
$\Rightarrow 9 - 24d + 16d^2 + 24d - 32d^2 + 12d^2 = 8$
$\Rightarrow -4d^2 + 1 = 0$
$\Rightarrow d = \frac {1}{4}$
$d = \pm \frac{1}{2}$
$d$ का मान $(iii)$ में रखने पर, हम प्राप्त करते हैं
$a_1 = 3 - 4\times \frac{1}{2} = 3 - 2 = 1 [$ जब $d =\frac{1}{2}]$
$a_1 = 3 - 4\times \left(-\frac{1}{2}\right) = 3 + 2 = 5 [$ जब $d =-\frac{1}{2}]$
जब $a_1 = 1, d = \frac{1}{2}$
$S_{16} = \frac{16}{2}\left[2 \times 1+(16-1) \times \frac{1}{2}\right]$
$= 8\left[2+\frac{15}{2}\right]$
$= 8\left[\frac{4+15}{2}\right]^{2}=8 \times \frac{19}{2}$
$4\times 19 = 76$
जब $a_1 = 5, d = -\frac{1}{2}$
$S_{16} = \frac{16}{2}\left[2 \times 5+(16-1)\left(-\frac{1}{2}\right)\right]$
$= 8\left[10-\frac{15}{2}\right]$
$= 8\left[\frac{20-15}{2}\right]^{2}=8 \times \frac{5}{2}$
$= 4\times 5 = 20$
अतः $a_{16} = 20$ या $76$ है।
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