केंद्र $A$ से आरम्भ करते हुए बारी$-$बारी से केंद्रों $A$ और $B$ को लेते हुए, त्रिज्याओं $0.5 \ cm, 1.0 \ cm, 1.5 \ cm, 2.0 \ cm, ...$ वाले उत्तरोत्तर अर्धवृत्तों को खींचकर एक सर्पिल $($Spiral$)$ बनाया गया है जैसा कि संलग्न आकृति में दर्शाया गया है। तेरह क्रमागत अर्धवृत्तों से बने इस सर्पिल की कुल लम्बाई क्या है? $(\pi=\frac{22}{7} = 227$ लीजिए।$)$
$[$संकेत: क्रमश: केंद्रों $A, B, A, B, ...$ वाले अर्धवृत्तों की लंबाइयाँ $l_1, l_2, l_3, l_4$ हैं।$]$
$[$संकेत: क्रमश: केंद्रों $A, B, A, B, ...$ वाले अर्धवृत्तों की लंबाइयाँ $l_1, l_2, l_3, l_4$ हैं।$]$
Exercise-5.3-18
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हम जानते हैं कि
अर्धवृत की लंबाई $=\pi r$
$l_1 =\pi\times 0.5 \ cm$
$l_2 =\pi\times 1.0 \ cm$
$l_3 =\pi\times 1.5 \ cm$
$l_4 =\pi\times 2.0 \ cm$ इसी तरह
माना चक्राकार स्पिरिंग की कुल लंबाई $l$ है जो कि तेरह अर्धवृत्तों से बना है
$\therefore l = l_1 + l_2 + l_3 + ... l_{13}$
$=\pi \times 0.5+\pi \times 1.0+\pi \times 1.5 + ... +\pi(0.5 + (13 - 1)0.5)$
$[\because a_n = a + (n - 1)d]$
$=\pi[0.5 + 1.0 + 1.5 + ... + (0.5 + 12\times 0.5)]$
$=\pi[0.5 + 1.0 + 1.5 + ... + (0.5 + 6.0)]$
$=\frac{22}{7}[0.5 + 1.0 + 1.5 + ... + 6.5]$
$=\frac{22}{7} \times \frac{13}{2}[0.5 \times 6.5]\left[\because \mathrm{s}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{n}}{2}\{\mathrm{a}+1\}\right]$
$=\frac{22}{7} \times \frac{13}{2} \times 7 = 143 \ cm$
अतः वृत्ताकार स्पिरिंग की कुल लंबाई जो कि तेरह अर्धवृत्तों से बना है $= 143 \ cm$
अर्धवृत की लंबाई $=\pi r$
$l_1 =\pi\times 0.5 \ cm$
$l_2 =\pi\times 1.0 \ cm$
$l_3 =\pi\times 1.5 \ cm$
$l_4 =\pi\times 2.0 \ cm$ इसी तरह
माना चक्राकार स्पिरिंग की कुल लंबाई $l$ है जो कि तेरह अर्धवृत्तों से बना है
$\therefore l = l_1 + l_2 + l_3 + ... l_{13}$
$=\pi \times 0.5+\pi \times 1.0+\pi \times 1.5 + ... +\pi(0.5 + (13 - 1)0.5)$
$[\because a_n = a + (n - 1)d]$
$=\pi[0.5 + 1.0 + 1.5 + ... + (0.5 + 12\times 0.5)]$
$=\pi[0.5 + 1.0 + 1.5 + ... + (0.5 + 6.0)]$
$=\frac{22}{7}[0.5 + 1.0 + 1.5 + ... + 6.5]$
$=\frac{22}{7} \times \frac{13}{2}[0.5 \times 6.5]\left[\because \mathrm{s}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{n}}{2}\{\mathrm{a}+1\}\right]$
$=\frac{22}{7} \times \frac{13}{2} \times 7 = 143 \ cm$
अतः वृत्ताकार स्पिरिंग की कुल लंबाई जो कि तेरह अर्धवृत्तों से बना है $= 143 \ cm$
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