आकृति में CM और RN क्रमशः$\triangle$ABC और$\triangle$PQR की माध्यिकाएँ हैं। यदि$\triangle$ABC$\sim$ $\triangle$PQR है तो सिद्ध कीजिए कि-
- $\triangle$AMC$\sim$ $\triangle$PNR
- $\frac{{CM}}{{RN}}=\frac{{AB}}{{PQ}}$
- $\triangle$CMB$\sim$$\triangle$RNQ
example-8
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- $\triangle$ABC$\sim$$\triangle$PQR ... (दिया है)
अत:$\frac{{AB}}{{PQ}}=\frac{{BC}}{{QR}}=\frac{{CA}}{{RP}}$ ... (i)
तथा$\angle$A =$\angle$P,$\angle$B =$\angle$Q और$\angle$C =$\angle$R ... (ii)
परंतु AB = 2 AM और PQ = 2 PN ... (क्योंकि CM और RN माध्यिकाएँ हैं)
इसलिए (i) से
$\frac{2 {AM}}{2 {PN}}=\frac{{CA}}{{RP}}$
अर्थात $\frac{{AM}}{{PN}}=\frac{{CA}}{{RP}}$ ...(iii)
साथ ही $\angle$MAC =$\angle$NPR ... [(ii) से] ... (iv)
इसलिए (iii) और (iv) से,
$\triangle$AMC$\sim$ $\triangle$PNR ... (SAS समरूपता) ... (v) - (v) से
$\frac{{CM}}{{RN}}=\frac{{CA}}{{RP}}$ ... (vi)
परंतु $ \frac{{CA}}{{RP}}=\frac{{AB}}{{PQ}}$ ... [(i) से] ... (vii)
अत: $\frac{{CM}}{{RN}}=\frac{{AB}}{{PQ}}$ ... [(vi) और (vii)] ...(viii) - पुन:
$\frac{{AB}}{{PQ}}=\frac{{BC}}{{QR}}$ ... [(i) से]
अतः $\frac{{CM}}{{RN}}=\frac{{BC}}{{QR}}$ ... [(viii) से] (ix)
साथ ही $\frac{{CM}}{{RN}}=\frac{{AB}}{{PQ}}=\frac{2 {BM}}{2 {QN}}$
अर्थात $\frac{C M}{R N}=\frac{B M}{Q N}$ ...(x)
अर्थात $\frac{{CM}}{{RN}}=\frac{{BC}}{{QR}}=\frac{{BM}}{{QN}}$ [(ix) और (x) से]
अत: $\triangle$CMB$\sim$$\triangle$RNQ ...(SSS समरूपता)
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