आकृति में $\angle ACB = 90^\circ$ तथा $CD \perp AB $है। सिद्ध कीजिए कि $\frac{{BC}^{2}}{{AC}^{2}}=\frac{{BD}}{{AD}}$ है।
example-10
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$\triangle ACD \sim \triangle ABC ... ($यदि किसी समकोण त्रिभुज के समकोण वाले शीर्ष से कर्ण पर लंब डाला जाए तो इस लंब के दोनों ओर बने त्रिभुज संपूर्ण त्रिभुज के समरूप होते हैं तथा परस्पर भी समरूप होते हैं$।)$
अत:$ \frac{{AC}}{{AB}}=\frac{{AD}}{{AC}}$
या $AC^2 = AB \cdot AD ... (i)$
इसी प्रकार $\triangle BCD \sim \triangle BAC ... ($यदि किसी समकोण त्रिभुज के समकोण वाले शीर्ष से कर्ण पर लंब डाला जाए तो इस लंब के दोनों आर बने त्रिभुज संपूर्ण त्रिभुज के समरूप होते हैं तथा परस्पर भी समरूप होते हैं$।)$
अतः$ \frac{{BC}}{{BA}}=\frac{{BD}}{{BC}}$
या $BC^2 =BA \cdot BD ... (ii)$
अत: $(i)$ और $(ii)$ से
$\frac{{BC}^{2}}{{AC}^{2}}$
$=\frac{{BA} \cdot {BD}}{{AB} \cdot {AD}}=\frac{{BD}}{{AD}}$
अत:$ \frac{{AC}}{{AB}}=\frac{{AD}}{{AC}}$
या $AC^2 = AB \cdot AD ... (i)$
इसी प्रकार $\triangle BCD \sim \triangle BAC ... ($यदि किसी समकोण त्रिभुज के समकोण वाले शीर्ष से कर्ण पर लंब डाला जाए तो इस लंब के दोनों आर बने त्रिभुज संपूर्ण त्रिभुज के समरूप होते हैं तथा परस्पर भी समरूप होते हैं$।)$
अतः$ \frac{{BC}}{{BA}}=\frac{{BD}}{{BC}}$
या $BC^2 =BA \cdot BD ... (ii)$
अत: $(i)$ और $(ii)$ से
$\frac{{BC}^{2}}{{AC}^{2}}$
$=\frac{{BA} \cdot {BD}}{{AB} \cdot {AD}}=\frac{{BD}}{{AD}}$
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