आयत $\text{ABCD}$ के अंदर स्थित $O$ कोई बिंदु है $($आकृति देखिए$)$। सिद्ध कीजिए कि $OB^2 + OD^2 = OA^2 + OC^2$ है।
example-14
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$O$ से होकर जाती हुई $PQ \| BC$ खींचिए, जिससे कि $P$ भुजा $AB$ पर स्थित हो तथा $Q$ भुजा $DC$ पर स्थित हो।
अब $PQ \| BC$ है
अत: $PQ\perp AB$ और $PQ\perp DC (\angle B = 90^\circ$ और $\angle C = 90^\circ)$
इसलिए $\angle \text{BPQ} = 90^\circ$ और $\angle \text{CQP} = 90^\circ$ है।
अत: $\text{BPQC}$ और $\text{APQD}$ दोनों आयत हैं।
अब $\triangle \text{OPB}$ से
इसी प्रकार $\triangle \text{OQD}$ से
$OB^2 = BP^2 + OP^2$
$OD^2 = OQ^2 + DQ^2$
तथा $\triangle \text{OAP}$ से हमें प्राप्त होता है
$OC^2 = OQ^2 + CQ^2$
$OA^2 = AP^2 + OP^2$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर
$OB^2 + OD^2 = BP^2 + OP^2 + OQ^2 + DQ^2$
$= CQ^2 + OP2 + OQ^2 + AP^2 ... ($ क्योंकि $BP = CQ$ और $DQ = AP$ है$)$
$= CQ^2 + OQ^2 + OP^2 + AP^2 = OC^2 + OA^2 [(iii)$ और $(iv)$ से$]$
अब $PQ \| BC$ है
अत: $PQ\perp AB$ और $PQ\perp DC (\angle B = 90^\circ$ और $\angle C = 90^\circ)$
इसलिए $\angle \text{BPQ} = 90^\circ$ और $\angle \text{CQP} = 90^\circ$ है।
अत: $\text{BPQC}$ और $\text{APQD}$ दोनों आयत हैं।
अब $\triangle \text{OPB}$ से
इसी प्रकार $\triangle \text{OQD}$ से
$OB^2 = BP^2 + OP^2$
$OD^2 = OQ^2 + DQ^2$
तथा $\triangle \text{OAP}$ से हमें प्राप्त होता है
$OC^2 = OQ^2 + CQ^2$
$OA^2 = AP^2 + OP^2$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर
$OB^2 + OD^2 = BP^2 + OP^2 + OQ^2 + DQ^2$
$= CQ^2 + OP2 + OQ^2 + AP^2 ... ($ क्योंकि $BP = CQ$ और $DQ = AP$ है$)$
$= CQ^2 + OQ^2 + OP^2 + AP^2 = OC^2 + OA^2 [(iii)$ और $(iv)$ से$]$
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