आकृति में दर्शाए गए वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि वृत्त की त्रिज्या $21 \ cm$ है और $\angle AOB = 120^\circ$ है। $[\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए$]$
example-3
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वृत्तखंड $\text{AYB}$ का क्षेत्रफल $=$ त्रिज्यखंड $\text{OAYB}$ का क्षेत्रफल $- \triangle OAB$ का क्षेत्रफल $...(i)$
अब, त्रिज्यखंड $\text{OAYB}$ का क्षेत्रफल $= \frac{120}{360} \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 cm^2 = 462 \ cm^2 ...(ii)$
$\triangle OAB$ का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए $OM \perp AB$ खींचिए, जैसाकि आकृति में दिखाया गया है।
ध्यान दीजिए कि $OA = OB$ है। अतः RHS सर्वांगसमता से, $\triangle AMO \cong$
$\triangle BMO$ है।
इसलिए $M$ जीवा $AB$ का मध्य$-$बिंदु है तथा $\angle AOM = \angle BOM = \frac{1}{2} \times 120^{\circ} = 60^\circ$ है।
मान लीजिए $OM = x \ cm$ है।
इसलिए $\triangle OMA$ से, $\frac{\mathrm{OM}}{\mathrm{OA}}=\cos 60^{\circ}$
या $\frac{x}{21}=\frac{1}{2} \quad\left(\cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}\right)$
या $x = \frac{21}{2}$
अत: $OM = \frac{21}{2} cm$
साथ ही $\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{OA}}=\sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
अत: $AM = \frac{21 \sqrt{3}}{2} cm$
इसलिए $AB = 2AM = \frac{2 \times 21 \sqrt{3}}{2} cm = 21\sqrt{3} cm$
अत: $\triangle OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \mathrm{AB} \times \mathrm{OM}=\frac{1}{2} \times 21 \sqrt{3} \times \frac{21}{2}$
$= \frac{441}{4} \sqrt{3} cm^2 ...(iii)$
इसलिए वृत्तखंड $\text{AYB}$ का क्षेत्रफल $= \left(462-\frac{441}{4} \sqrt{3}\right)cm^2 [(i), (ii)$ और $(iii)$ से$]$
$= \frac{21}{4}(88-21 \sqrt{3}) cm^2$
अब, त्रिज्यखंड $\text{OAYB}$ का क्षेत्रफल $= \frac{120}{360} \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 cm^2 = 462 \ cm^2 ...(ii)$
$\triangle OAB$ का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए $OM \perp AB$ खींचिए, जैसाकि आकृति में दिखाया गया है।
ध्यान दीजिए कि $OA = OB$ है। अतः RHS सर्वांगसमता से, $\triangle AMO \cong$
$\triangle BMO$ है।
इसलिए $M$ जीवा $AB$ का मध्य$-$बिंदु है तथा $\angle AOM = \angle BOM = \frac{1}{2} \times 120^{\circ} = 60^\circ$ है।
मान लीजिए $OM = x \ cm$ है।
इसलिए $\triangle OMA$ से, $\frac{\mathrm{OM}}{\mathrm{OA}}=\cos 60^{\circ}$
या $\frac{x}{21}=\frac{1}{2} \quad\left(\cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}\right)$
या $x = \frac{21}{2}$
अत: $OM = \frac{21}{2} cm$
साथ ही $\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{OA}}=\sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
अत: $AM = \frac{21 \sqrt{3}}{2} cm$
इसलिए $AB = 2AM = \frac{2 \times 21 \sqrt{3}}{2} cm = 21\sqrt{3} cm$
अत: $\triangle OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \mathrm{AB} \times \mathrm{OM}=\frac{1}{2} \times 21 \sqrt{3} \times \frac{21}{2}$
$= \frac{441}{4} \sqrt{3} cm^2 ...(iii)$
इसलिए वृत्तखंड $\text{AYB}$ का क्षेत्रफल $= \left(462-\frac{441}{4} \sqrt{3}\right)cm^2 [(i), (ii)$ और $(iii)$ से$]$
$= \frac{21}{4}(88-21 \sqrt{3}) cm^2$
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