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त्रिज्या $21 \ cm$ वाले वृत्त का एक चाप केंद्र पर $60^\circ$ का कोण अंतरित करता है। ज्ञात कीजिए:
  1. चाप की लंबाई
  2. चाप द्वारा बनाए गए त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
  3. संगत जीवा द्वारा बनाए गए वृत्तखंड का क्षेत्रफल $(\pi=\frac{22}{7})$
Exercise-11.1-5
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यहाँ, त्रिज्या $(r) = 21$ सेमी. और $\theta = 60^\circ$
  1. वृत्त की परिधि $= 2 \pi r=2 \times \frac{22}{7} \times 21$ सेमी.
    $= 2 \times 22 \times 3$ सेमी.
    $= 132$ सेमी.
    $\because$ चाप $\widehat{\mathrm{APB}} = \frac{60}{360} \times 132$ सेमी.
    $= \frac{1}{6} \times 132$ सेमी. $= 22$ सेमी.
  2. त्रिज्यखण्ड, जिसका $\theta = 60^\circ,$ का क्षेत्रफल
    $= \frac{60}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}$
    $= \frac{60}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21$सेमी$.^2$
    $= 11 \times 21$ सेमी$.^2 = 231$ सेमी$.^2$
  3. वृत्तखण्ड $\text{APB}$ का क्षेत्रफल
    $= [$त्रिज्यखण्ड $\text{AOB}] - [\triangle AOB$ का क्षेत्रफल$] ....(i)$
    $\triangle AOB$ में, $OA = OB = 21$ सेमी.
    $\therefore \angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{B}=60^{\circ} [\because \angle O = 60^\circ]$
    $\Rightarrow AOB$ एक समबाहु त्रिभुज है।
    $\therefore AB = 21$ सेमी.
    $\mathrm{OM} \perp \mathrm{AB}$ इस प्रकार खींचो कि
    $\frac{\mathrm{OM}}{\mathrm{OA}}=\sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
    $\Rightarrow OM = 21 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$ सेमी.
    क्षेत्रफल $(\triangle \mathrm{OAB})=\frac{1}{2} \times \mathrm{AB} \times \mathrm{OM}$
    $= \frac{1}{2} \times 21 \times 21 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$ सेमी$.^2$
    $= \frac{441 \sqrt{3}}{4}$ सेमी$.^2 ...(ii)$
    $(i)$ और $(ii)$ से हमें प्राप्त होता है कि:
    वत्त खण्ड का क्षेत्रफल
    $= [231$ सेमी$.^2] - [\frac{441 \sqrt{3}}{4}$ सेमी$.^2]$
    $= \left(231-\frac{441 \sqrt{3}}{4}\right)$ सेमी$.^2$
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