त्रिज्या $12 \ cm$ वाले एक वृत्त की कोई जीवा केंद्र पर $120^\circ$ का कोण अंतरित करती है। संगत वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। $(\pi = 3.14$ और $\sqrt{3} = 1.73$ का प्रयोग कीजिए$।)$
Exercise-11.1-7
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यहाँ $\theta = 120^\circ$ और $r = 12$ सेमी.
चूंकि, $\theta$ कोण वाले त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल
$= \frac{\theta}{360} \times \pi r^{2}$
$= \frac{120}{360} \times \frac{314}{100} \times 12 \times 12$ सेमी.$^2$
$= \frac{314 \times 4 \times 12}{100}$ सेमी$.^2$
$= \frac{15072}{100} सेमी.^2 = 150.72$ सेमी$.^2 ...(i)$
अब, क्षे. $(\triangle AOB) = \frac{1}{2} \times \mathrm{AB} \times \mathrm{OM} ...(ii) [\because OM \perp AB]$
$\triangle OAB$ में $\angle O = 120^\circ$
$\Rightarrow \angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{B} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$
$\because OB = OA = 12$ सेमी.
$\Rightarrow \angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{B} = 30^\circ$
अतः $\frac{\mathrm{OM}}{\mathrm{OA}}=\sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}$
$\Rightarrow OM = \mathrm{OA} \times \frac{1}{2}$
$\Rightarrow OM = 12 \times \frac{1}{2} = 6$ सेमी.
समकोण $\triangle AMO$ में,
$12^2 - 6^2 = AM^2$
$\Rightarrow 144 - 36 = AM^2$
$\Rightarrow 108 = AM^2$
$\Rightarrow AM = \sqrt{108}=6 \sqrt{3}$
$\Rightarrow 2AM = 12 \sqrt{3}$
$\Rightarrow AB = 12 \sqrt{3}$ सेमी.
अब $(ii)$ से,
क्षे. $(\triangle AOB) = \frac{1}{2} \times \mathrm{AB} \times \mathrm{OM}$
$= \frac{1}{2} \times 12 \sqrt{3} \times 6$ सेमी$.^2$
$= 36 \sqrt{3}$ सेमी$.^2$
$= 36 \times 1.73$ सेमी$.^2$
$= 62.28$ सेमी.$^2 ...(iii)$
$(i)$ और $(iii)$ से,
लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल $= [$लघु त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल$] - [ \triangle AOB$ का क्षे$.]$
$= [150.72$ सेमी$.^2] - [62.28$ सेमी$.^2] = 88.44$ सेमी$.^2$
चूंकि, $\theta$ कोण वाले त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल
$= \frac{\theta}{360} \times \pi r^{2}$
$= \frac{120}{360} \times \frac{314}{100} \times 12 \times 12$ सेमी.$^2$
$= \frac{314 \times 4 \times 12}{100}$ सेमी$.^2$
$= \frac{15072}{100} सेमी.^2 = 150.72$ सेमी$.^2 ...(i)$
अब, क्षे. $(\triangle AOB) = \frac{1}{2} \times \mathrm{AB} \times \mathrm{OM} ...(ii) [\because OM \perp AB]$
$\triangle OAB$ में $\angle O = 120^\circ$
$\Rightarrow \angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{B} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$
$\because OB = OA = 12$ सेमी.
$\Rightarrow \angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{B} = 30^\circ$
अतः $\frac{\mathrm{OM}}{\mathrm{OA}}=\sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}$
$\Rightarrow OM = \mathrm{OA} \times \frac{1}{2}$
$\Rightarrow OM = 12 \times \frac{1}{2} = 6$ सेमी.
समकोण $\triangle AMO$ में,
$12^2 - 6^2 = AM^2$
$\Rightarrow 144 - 36 = AM^2$
$\Rightarrow 108 = AM^2$
$\Rightarrow AM = \sqrt{108}=6 \sqrt{3}$
$\Rightarrow 2AM = 12 \sqrt{3}$
$\Rightarrow AB = 12 \sqrt{3}$ सेमी.
अब $(ii)$ से,
क्षे. $(\triangle AOB) = \frac{1}{2} \times \mathrm{AB} \times \mathrm{OM}$
$= \frac{1}{2} \times 12 \sqrt{3} \times 6$ सेमी$.^2$
$= 36 \sqrt{3}$ सेमी$.^2$
$= 36 \times 1.73$ सेमी$.^2$
$= 62.28$ सेमी.$^2 ...(iii)$
$(i)$ और $(iii)$ से,
लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल $= [$लघु त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल$] - [ \triangle AOB$ का क्षे$.]$
$= [150.72$ सेमी$.^2] - [62.28$ सेमी$.^2] = 88.44$ सेमी$.^2$
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