आकृति में, रेखाखंड XY त्रिभुज ABC की भुजा AC के समांतर है तथा इस त्रिभुज को वह बराबर क्षेत्रफलों वाले दो भागों में विभाजित करता है। अनुपात$\frac{AX}{AB}$ ज्ञात कीजिए।
example-9
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हल : हमें प्राप्त है: XY || AC ... (दिया है)
अत:$\angle$BXY = $\angle$A और$\angle$BYX =$\angle$C ... (संगत कोण)
इसलिए$\triangle$ABC$\sim$$\triangle$XBY ... (AA समरूपता कसौटी)
अतः$\frac{\operatorname{ar}({ABC})}{\operatorname{ar}({XBY})}=\left(\frac{{AB}}{{XB}}\right)^{2}$ ... (i)
साथ ही ar(ABC) = 2ar(XBY) ... (दिया है)
अत: $\frac{\operatorname{ar}({ABC})}{\operatorname{ar}({XBY})}=\frac{2}{1}$ ... (ii)
इसलिए (i) और (ii) से
$\left(\frac{\mathrm{AB}}{{XB}}\right)^{2}=\frac{2}{1}$ =$\frac{2}{1}$, अर्थात्$\frac{{AB}}{{XB}}$ =$\frac{\sqrt{2}}{1}$ है।
या$\frac{{XB}}{{AB}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$
या 1 -$\frac{{XB}}{{AB}}=1-\frac{1}{\sqrt{2}}$
या$\frac{{AB}-{XB}}{{AB}}=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}$,
अर्थात्$\frac{{AX}}{{AB}}=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}=\frac{2-\sqrt{2}}{2}$ है।
अत:$\angle$BXY = $\angle$A और$\angle$BYX =$\angle$C ... (संगत कोण)
इसलिए$\triangle$ABC$\sim$$\triangle$XBY ... (AA समरूपता कसौटी)
अतः$\frac{\operatorname{ar}({ABC})}{\operatorname{ar}({XBY})}=\left(\frac{{AB}}{{XB}}\right)^{2}$ ... (i)
साथ ही ar(ABC) = 2ar(XBY) ... (दिया है)
अत: $\frac{\operatorname{ar}({ABC})}{\operatorname{ar}({XBY})}=\frac{2}{1}$ ... (ii)
इसलिए (i) और (ii) से
$\left(\frac{\mathrm{AB}}{{XB}}\right)^{2}=\frac{2}{1}$ =$\frac{2}{1}$, अर्थात्$\frac{{AB}}{{XB}}$ =$\frac{\sqrt{2}}{1}$ है।
या$\frac{{XB}}{{AB}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$
या 1 -$\frac{{XB}}{{AB}}=1-\frac{1}{\sqrt{2}}$
या$\frac{{AB}-{XB}}{{AB}}=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}$,
अर्थात्$\frac{{AX}}{{AB}}=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}=\frac{2-\sqrt{2}}{2}$ है।
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