एक चतुर्भुज ABCD के विकर्ण परस्पर बिंदु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि $\frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO}$ है। दर्शाइए कि ABCD एक समलंब है।
Exercise-6.2-10
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हमें ज्ञात है कि समलम्ब ABCD में AC और BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद इस प्रकार करते हैं कि:
$\frac{{AO}}{{BO}}=\frac{{CO}}{{DO}}$
अब,$\frac{{AO}}{{BO}}=\frac{{CO}}{{DO}}$ से हमें प्राप्त होता है कि
$\frac{{AO}}{{CO}}=\frac{{BO}}{{DO}}$
बिन्दु O से OE || DC या AB खींचो।
$\triangle$ADB में, मूलभूत समानुपातिकता प्रमेय से,
$\frac{{DE}}{{EA}}=\frac{{OD}}{{BO}}$
$\Rightarrow$ $\frac{{EA}}{{DE}}=\frac{{BO}}{{OD}}$ ... (i)
और$\frac{{AO}}{{CO}}=\frac{{BO}}{{DO}}$ ... [ज्ञात है] ... (ii)
(i) और (ii) से,
$\frac{{EA}}{{DE}}=\frac{{BO}}{{DO}}=\frac{{AO}}{{CO}}$
अर्थात्$\triangle$ABC की भुजाओं AD और AC पर स्थित क्रमश: बिन्दु E और O, इन्हें एक ही अनुपात में बांटते हैं।
$\therefore$ OE || DC और OE || AB
$\Rightarrow$ AB || DC
अत: ABCD एक समलंब चतुर्भुज है।
$\frac{{AO}}{{BO}}=\frac{{CO}}{{DO}}$
अब,$\frac{{AO}}{{BO}}=\frac{{CO}}{{DO}}$ से हमें प्राप्त होता है कि
$\frac{{AO}}{{CO}}=\frac{{BO}}{{DO}}$
बिन्दु O से OE || DC या AB खींचो।
$\triangle$ADB में, मूलभूत समानुपातिकता प्रमेय से,
$\frac{{DE}}{{EA}}=\frac{{OD}}{{BO}}$
$\Rightarrow$ $\frac{{EA}}{{DE}}=\frac{{BO}}{{OD}}$ ... (i)
और$\frac{{AO}}{{CO}}=\frac{{BO}}{{DO}}$ ... [ज्ञात है] ... (ii)
(i) और (ii) से,
$\frac{{EA}}{{DE}}=\frac{{BO}}{{DO}}=\frac{{AO}}{{CO}}$
अर्थात्$\triangle$ABC की भुजाओं AD और AC पर स्थित क्रमश: बिन्दु E और O, इन्हें एक ही अनुपात में बांटते हैं।
$\therefore$ OE || DC और OE || AB
$\Rightarrow$ AB || DC
अत: ABCD एक समलंब चतुर्भुज है।
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