AD और PM त्रिभुजों ABC और PQR की क्रमशः माध्यिकाएँ हैं, जबकि$\triangle$ABC$\sim$$\triangle$PQR है। सिद्ध कीजिए कि $\frac{AB}{PQ} = \frac{AD}{PM}$ है।
Exercise-6.3-16
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हमें प्राप्त है:$\triangle$ABC$\sim$$\triangle$PQR
भुजाओं BC और QR की संगत माध्यिकाएँ क्रमशः AD और PM हैं।
$\because$$\triangle$ABC$\sim$$\triangle$PQR
और समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं।
$\therefore$$\frac{{AB}}{{PQ}}=\frac{{BC}}{{QR}}=\frac{{CA}}{{RP}}$ ...(i)
चूंकि समरूप त्रिभुजों के संगत कोण समान होते हैं।
$\therefore$$\angle$A =$\angle$P;$\angle$B =$\angle$Q और$\angle$C =$\angle$R ...(ii)
चूंकि AD और PM माध्यिकाएँ हैं
$\therefore$ BC = 2 BD और QR = 2 QM
$\therefore$ (i) से$\frac{{AB}}{{PQ}}=\frac{2 {BD}}{2 {QM}}=\frac{{BD}}{{QM}}$ ...(iii)
और$\angle$B =$\angle$Q$\Rightarrow$$\angle$ABD =$\angle$PQM ...(iv)
अब, (iii) और (iv) से हमें प्राप्त होता है:
$\triangle$ABD$\sim$$\triangle$PQM ...[SAS समरूपता कसौटी]
$\therefore$ इनकी संगत भुजाएँ समानुपाती हैं,
$\Rightarrow$$\frac{{AB}}{{PQ}}=\frac{{AD}}{{PM}}$
भुजाओं BC और QR की संगत माध्यिकाएँ क्रमशः AD और PM हैं।
$\because$$\triangle$ABC$\sim$$\triangle$PQR
और समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं।
$\therefore$$\frac{{AB}}{{PQ}}=\frac{{BC}}{{QR}}=\frac{{CA}}{{RP}}$ ...(i)
चूंकि समरूप त्रिभुजों के संगत कोण समान होते हैं।
$\therefore$$\angle$A =$\angle$P;$\angle$B =$\angle$Q और$\angle$C =$\angle$R ...(ii)
चूंकि AD और PM माध्यिकाएँ हैं
$\therefore$ BC = 2 BD और QR = 2 QM
$\therefore$ (i) से$\frac{{AB}}{{PQ}}=\frac{2 {BD}}{2 {QM}}=\frac{{BD}}{{QM}}$ ...(iii)
और$\angle$B =$\angle$Q$\Rightarrow$$\angle$ABD =$\angle$PQM ...(iv)
अब, (iii) और (iv) से हमें प्राप्त होता है:
$\triangle$ABD$\sim$$\triangle$PQM ...[SAS समरूपता कसौटी]
$\therefore$ इनकी संगत भुजाएँ समानुपाती हैं,
$\Rightarrow$$\frac{{AB}}{{PQ}}=\frac{{AD}}{{PM}}$
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