एक त्रिभुज ABC कि भुजाएँ AB और BC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज PQR की क्रमशः भुजाओं PQ और QR तथा माध्यिका PM के समानुपाती हैं (आकृति देखिए)| दर्शाइए कि$\triangle$ABC$\sim$$\triangle$PQR है|
Exercise-6.3-12
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हमें ज्ञात है कि$\triangle$ABC और$\triangle$PQR में भुजाओं BC और QR के संगत माध्यिकाएँ क्रमशः AD और PM इस प्रकार हैं।
$\therefore$$\frac{{AB}}{{PQ}} = \frac{{BC}}{{QR}}=\frac{{AD}}{{PM}}$
$\Rightarrow$$\frac{{AB}}{{PQ}}=\frac{\frac{1}{2} {BC}}{\frac{1}{2} {QR}}=\frac{{AD}}{{PM}}$
$\therefore$$\frac{{AB}}{{PQ}}=\frac{{BD}}{{QM}}=\frac{{AD}}{{PM}}$
$\therefore$ समरूपता की AAA कसौटी से
$\triangle$ABD$\sim$$\triangle$PQM ...[AA'A समरूपता]
$\therefore$ इनके संगत कोण समान हैं,
$\Rightarrow$$\angle$ABD =$\angle$PQM
$\Rightarrow$$\angle$ABC =$\angle$PQR
अब$\triangle$ABC और$\triangle$PQR में
$\frac{{AB}}{{PQ}}=\frac{{BC}}{{QR}}$ ...(i) [ ज्ञात है]
और$\angle$ABC =$\angle$PQR ...(ii) ...[ऊपर सिद्ध किया है]
$\therefore$ SAS समरूपता कसौटी से,$\triangle$ABC$\sim$$\triangle$PQR
$\therefore$$\frac{{AB}}{{PQ}} = \frac{{BC}}{{QR}}=\frac{{AD}}{{PM}}$
$\Rightarrow$$\frac{{AB}}{{PQ}}=\frac{\frac{1}{2} {BC}}{\frac{1}{2} {QR}}=\frac{{AD}}{{PM}}$
$\therefore$$\frac{{AB}}{{PQ}}=\frac{{BD}}{{QM}}=\frac{{AD}}{{PM}}$
$\therefore$ समरूपता की AAA कसौटी से
$\triangle$ABD$\sim$$\triangle$PQM ...[AA'A समरूपता]
$\therefore$ इनके संगत कोण समान हैं,
$\Rightarrow$$\angle$ABD =$\angle$PQM
$\Rightarrow$$\angle$ABC =$\angle$PQR
अब$\triangle$ABC और$\triangle$PQR में
$\frac{{AB}}{{PQ}}=\frac{{BC}}{{QR}}$ ...(i) [ ज्ञात है]
और$\angle$ABC =$\angle$PQR ...(ii) ...[ऊपर सिद्ध किया है]
$\therefore$ SAS समरूपता कसौटी से,$\triangle$ABC$\sim$$\triangle$PQR
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