ऐसी दो धन संख्याएँ $x$ और $y$ ज्ञात कीजिए ताकि $x + y = 60$ और $xy^3$ उच्चतम हो।
Exercise-6.5-14
Download our app for free and get started
मान लीजिए कि दो संख्याएँ $x, y$ हैं और $P = xy^3$ है।
दिया है $x + y = 60 \Rightarrow x = 60 - y$
अब, $x$ का मान $P$ में रखने पर
$P = (60 - y) y^3 \Rightarrow P = 60 y^{3 }- y^4$
$y$ के सापेक्ष दो बार अवकलन करने पर,
$\frac{dP}{dy} = 180 y^{2 }- 4y^3$
और $\frac{d^{2} P}{d y^{2}} = 360y - 12y^2$
उच्चतम मान के लिए, $\frac{d P}{d y} = 0$
$\Rightarrow 180y^{2 }- 4y^{3 }= 0 \Rightarrow 4y^2(45 - y) = 0$
$\Rightarrow y = 0, 45$ लेकिन $y \neq 0,$ इसलिए $y = 45$
$y = 45 पर, \left(\frac{d^{2} p}{d y^{2}}\right)_{y=45} = 360 \times 45 - 12 \times (45)^2$
$= 16200 - 24300 = - 8100 < 0$
$\Rightarrow P$ का स्थानीय उच्चतम मान $y = 45$ पर है।
$\therefore$ द्वितीय अवकलन परीक्षण द्वारा $P$ का स्थानीय उच्चतम मान $y = 45$ पर है। इसलिए फलन $xy^3$
उच्चतम होगा जब $y = 45$ और $x = 60 - 45 = 15x = 15$
इसलिए, आवश्यक संख्याएँ है $15$ और $45$ हैं।
दिया है $x + y = 60 \Rightarrow x = 60 - y$
अब, $x$ का मान $P$ में रखने पर
$P = (60 - y) y^3 \Rightarrow P = 60 y^{3 }- y^4$
$y$ के सापेक्ष दो बार अवकलन करने पर,
$\frac{dP}{dy} = 180 y^{2 }- 4y^3$
और $\frac{d^{2} P}{d y^{2}} = 360y - 12y^2$
उच्चतम मान के लिए, $\frac{d P}{d y} = 0$
$\Rightarrow 180y^{2 }- 4y^{3 }= 0 \Rightarrow 4y^2(45 - y) = 0$
$\Rightarrow y = 0, 45$ लेकिन $y \neq 0,$ इसलिए $y = 45$
$y = 45 पर, \left(\frac{d^{2} p}{d y^{2}}\right)_{y=45} = 360 \times 45 - 12 \times (45)^2$
$= 16200 - 24300 = - 8100 < 0$
$\Rightarrow P$ का स्थानीय उच्चतम मान $y = 45$ पर है।
$\therefore$ द्वितीय अवकलन परीक्षण द्वारा $P$ का स्थानीय उच्चतम मान $y = 45$ पर है। इसलिए फलन $xy^3$
उच्चतम होगा जब $y = 45$ और $x = 60 - 45 = 15x = 15$
इसलिए, आवश्यक संख्याएँ है $15$ और $45$ हैं।
Download our appand get started for free
Experience the future of education. Simply download our apps or reach out to us for more information. Let's shape the future of learning together!No signup needed.*
Similar Questions
- 1ऐसी दो धन संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग $15$ है और जिनके वर्गों का योग न्यूनतम हो।View Solution
- 2$f(x) = x^{3 }- 6x^{2 }+ 9x + 15$ के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हों तो, ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम मान, जैसी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए।View Solution
- 3$f(5.001)$ का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए जहाँ $f(x) = x^{3 }- 7x^{2 }+ 15$ है।View Solution
- 4f(x) = 3 + |x|, x $\in $ R द्वारा प्रदत्त फलन f का स्थानीय निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।View Solution
- 5एक कण वक्र $6y = x^{3 }+ 2$ के अनुगत गति कर रहा है। वक्र पर उन बिंदुओं को ज्ञात कीजिए जबकि $x -$ निर्देशांक की तुलना में $y -$ निर्देशांक $8$ गुना तीव्रता से बदल रहा है।View Solution
- 6वक्र $y = x^{3 }+ 2x + 6$ के उन अभिलंबो के समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा $x + 14y + 4 = 0$ के समांतर है।View Solution
- 7सिद्ध कीजिए कि $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ में $y = \frac{4 \sin \theta}{(2+\cos \theta)} - \theta, \theta$ का एक वर्धमान फलन है।View Solution
- 8किसी वस्तु की $x$ इकाइयों के उत्पादन में कुल लागत $C(x)$ रुपये में $C(x) = 0.005 x^3 - 0.02 x^2+ 30x + 5000$ से प्रदत्त है। सीमांत लागत ज्ञात कीजिए जब $3$ इकाई उत्पादित की जाती है। जहाँ सीमांत लागत $($marginal cost या $MC)$ से हमारा अभिप्राय किसी स्तर पर उत्पादन के संपूर्ण लागत में तात्कालिक परिवर्तन की दर से है।View Solution
- 9$f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 6x + 5$ द्वारा प्रदत्त फलन $f$ के स्थानीय उच्चतम और स्थानीय निम्नतम के सभी बिंदु ज्ञात कीजिए।View Solution
- 10g(x) = $\frac{1}{x^{2}+2}$ के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हों तो, ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम मान, जैसी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए।View Solution