अंतराल $[0, 3]$ पर $3x^{4 }- 8x^3 + 12x^{2 }- 48x + 25$ के उच्चतम मान ओर निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
Exercise-6.5-7
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मान लीजिए कि $f(x) = 3x^4 - 8x^3+ 12x^2- 48x + 25$
$\Rightarrow f^{\prime}(x) = 12x^3 - 24x^{2 }+ 24x - 48 =12 \left(x^{3}-2 x^{2}+2 x-4\right) $
$= 12 \left\{x^{2}(x-2)+2(x-2)\right\} = 12(x - 2) \left(x^{2}+2\right)$
उच्चतम और न्यूनतम मान के लिए $f^{\prime}(x) = 0$ रखने पर,
$\Rightarrow 12(x - 2) \left(x^{2}+2\right) = 0$
$\Rightarrow$ यदि $x - 2 = 0 $
$\Rightarrow x = 2 \in [0, 3]$
और यदि, $x^{2 }+ 2 = 0 $
$\Rightarrow x^{2 }= - 2$
$\Rightarrow x = \sqrt{-2}$
इसलिए, केवल $x = 2$ वास्तविक मूल हैं जोक क्रांतिक बिन्दु माना जाता है।
अब हम $x = 2$ और अंतराल $[0, 3]$ के अंत बिन्दुओं पर f का मान ज्ञात करते हैं।
$x = 2$ पर, $f(2) = 3 \times 2^{4 }- 8 \times 2^{3 }+ 12 \times 2^{2 }- 48 \times 2 + 25$
$= 48 - 64 + 48 - 96 + 25 = - 39$
$x = 0$ पर, $f(0) = 0 - 0 + 0 - 0 + 25 = 25$
$x = 3$ पर, $f(3) = 3 \times 3^{4 }- 8 \times 3^{3 }+ 12 \times 3^{2 }- 48 \times 3 + 25$
$= 243 - 216 + 108 - 144 + 25 = 16$
इसलिए हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि $x = 0, f$ पर का निरपेक्ष उच्चतम मान $25$ है और $x = 2$ पर निरपेक्ष निम्नतम मान $- 39$ है।
$\Rightarrow f^{\prime}(x) = 12x^3 - 24x^{2 }+ 24x - 48 =12 \left(x^{3}-2 x^{2}+2 x-4\right) $
$= 12 \left\{x^{2}(x-2)+2(x-2)\right\} = 12(x - 2) \left(x^{2}+2\right)$
उच्चतम और न्यूनतम मान के लिए $f^{\prime}(x) = 0$ रखने पर,
$\Rightarrow 12(x - 2) \left(x^{2}+2\right) = 0$
$\Rightarrow$ यदि $x - 2 = 0 $
$\Rightarrow x = 2 \in [0, 3]$
और यदि, $x^{2 }+ 2 = 0 $
$\Rightarrow x^{2 }= - 2$
$\Rightarrow x = \sqrt{-2}$
इसलिए, केवल $x = 2$ वास्तविक मूल हैं जोक क्रांतिक बिन्दु माना जाता है।
अब हम $x = 2$ और अंतराल $[0, 3]$ के अंत बिन्दुओं पर f का मान ज्ञात करते हैं।
$x = 2$ पर, $f(2) = 3 \times 2^{4 }- 8 \times 2^{3 }+ 12 \times 2^{2 }- 48 \times 2 + 25$
$= 48 - 64 + 48 - 96 + 25 = - 39$
$x = 0$ पर, $f(0) = 0 - 0 + 0 - 0 + 25 = 25$
$x = 3$ पर, $f(3) = 3 \times 3^{4 }- 8 \times 3^{3 }+ 12 \times 3^{2 }- 48 \times 3 + 25$
$= 243 - 216 + 108 - 144 + 25 = 16$
इसलिए हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि $x = 0, f$ पर का निरपेक्ष उच्चतम मान $25$ है और $x = 2$ पर निरपेक्ष निम्नतम मान $- 39$ है।
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