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अन्तराल ज्ञात कीजिये जिसके लिये $f(x)=x^4-2 x^2$ वर्धमान या ह्रासमान है।
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दिया है $f(x)=x^4-2 x^2 $
इसलिये $\quad f^{\prime}(x)=4 x^3-4 x$
$f^{\prime}(x)=4 x\left(x^2-1\right)$
$f^{\prime}(x)=4 x(x+1)(x-1)$
$f(x)$ वर्धमान हो, इसके लिये $f^{\prime}(x)>0$ होना चाहिये इसलिये $4 x(x+1)(x-1)>0$
$\Rightarrow \quad x(x+1)(x-1) > 0$
$\Rightarrow \quad-1 < x < 0$ या $x>1$
$\Rightarrow \quad x \in(-1,0) \cup(1, \infty)$
Image
इसलिये $f(x)$, अन्तराल $(-1,0) \cup(1, \infty)$ में वर्धमान है। $f(x)$ ह्रासमान हो, इसके लिये $f^{\prime}(x)<0$
$\Rightarrow \quad 4 x(x+1)(x-1) < 0$
$\Rightarrow \quad x(x+1)(x-1)<0 \quad \therefore 4 > 0$
$\Rightarrow \quad x <-1$ या $0 < x<1$
$\Rightarrow \quad x \in(-\infty,-1) \cup(0,1)$
Image
इसलिये $f(x)$ अन्तराल $(-\infty,-1) \cup(0,1)$ में ह्रासमान है।
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