वह अन्तराल ज्ञात कीजिये जिसमें फलन $f(x)=2 \log (x-2)-x^2+4 x+1$ वृद्धिमान है।
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यहाँ $f(x)=2 \log (x-2)-x^2+4 x+1$
$\Rightarrow \quad y=2 \log (x-2)-x^2+4 x+1$
$\Rightarrow \quad \frac{d y}{d x}=\frac{2}{(x-2)}-2 x+4$
$=2\left[\frac{1}{x-2}-x+2\right]=2\left[\frac{1}{(x-2)}-(x-2)\right]$
$\Rightarrow \quad \frac{d y}{d x}=2\left[\frac{1-(x-2)^2}{(x-2)}\right]=\frac{2(x-1)(3-x)}{(x-2)}$
चूँकि दिया गया फलन $f(x)$ वर्धमान है।
इसलिये
$\frac{d y}{d x}>0 $
$\Rightarrow \quad \frac{2(x-1)(3-x)}{(x-2)}>0$
$\Rightarrow \quad 2(x-1)(3-x)>0$
$\Rightarrow \quad(x-1)(3-x)>0[\because 2>0]$
$\Rightarrow \quad 1 < x < 3$
अत: अभीष्ट अन्तराल $1 < x < 3$ है।
$\Rightarrow \quad y=2 \log (x-2)-x^2+4 x+1$
$\Rightarrow \quad \frac{d y}{d x}=\frac{2}{(x-2)}-2 x+4$
$=2\left[\frac{1}{x-2}-x+2\right]=2\left[\frac{1}{(x-2)}-(x-2)\right]$
$\Rightarrow \quad \frac{d y}{d x}=2\left[\frac{1-(x-2)^2}{(x-2)}\right]=\frac{2(x-1)(3-x)}{(x-2)}$
चूँकि दिया गया फलन $f(x)$ वर्धमान है।
इसलिये
$\frac{d y}{d x}>0 $
$\Rightarrow \quad \frac{2(x-1)(3-x)}{(x-2)}>0$
$\Rightarrow \quad 2(x-1)(3-x)>0$
$\Rightarrow \quad(x-1)(3-x)>0[\because 2>0]$
$\Rightarrow \quad 1 < x < 3$
अत: अभीष्ट अन्तराल $1 < x < 3$ है।
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