एक कण एक सरल रेखा में इस प्रकार गतिमान है कि $t$ समय पर इसकी एक स्थिर बिन्दु से दूरी S , समय की $n$ घात के समानुपाती है। यदि $t$ समय पर इसका वेग $( V )$ तथा $a$ त्वरण हो तो सिद्ध कीजिए-
$ V^2=\frac{n a S}{(n-1)} $
$ V^2=\frac{n a S}{(n-1)} $
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दिया गया है-
दूरी $( S ) \propto(\text { समय })^n$
$\therefore \quad S \propto t^n$
$\Rightarrow \quad S =k t^n$
$\Rightarrow \quad V =\frac{d S}{d t}=n k t^{n-1}$.......(1)
तथा त्वरण $( a )=\frac{d V}{d t}=n(n-1) k \cdot t^{n-2}$
अब $\quad a \cdot S=n(n-1) k t^{n-2} \cdot k t^n$............(2)
समीकरण (2) में $\left(\frac{n}{n-1}\right)$ से गुणा करने पर
$\Rightarrow \quad \frac{n}{(n-1)} a \cdot S=n^2 k^2 t^{2 n-2}$
$\Rightarrow \quad \frac{n \cdot a \cdot S}{(n-1)}=\left(n k t^{n-1}\right)^2$
समीकरण (1) से मान रखने पर
$\frac{n \cdot a \cdot S}{(n-1)}= V ^2$
अतः $\quad V ^2=\frac{n a S}{n-1}$ (इतिसिद्धम् )
दूरी $( S ) \propto(\text { समय })^n$
$\therefore \quad S \propto t^n$
$\Rightarrow \quad S =k t^n$
$\Rightarrow \quad V =\frac{d S}{d t}=n k t^{n-1}$.......(1)
तथा त्वरण $( a )=\frac{d V}{d t}=n(n-1) k \cdot t^{n-2}$
अब $\quad a \cdot S=n(n-1) k t^{n-2} \cdot k t^n$............(2)
समीकरण (2) में $\left(\frac{n}{n-1}\right)$ से गुणा करने पर
$\Rightarrow \quad \frac{n}{(n-1)} a \cdot S=n^2 k^2 t^{2 n-2}$
$\Rightarrow \quad \frac{n \cdot a \cdot S}{(n-1)}=\left(n k t^{n-1}\right)^2$
समीकरण (1) से मान रखने पर
$\frac{n \cdot a \cdot S}{(n-1)}= V ^2$
अतः $\quad V ^2=\frac{n a S}{n-1}$ (इतिसिद्धम् )
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