एक गोलीय बुलबुले का पृष्ठीय क्षेत्रफल 2 सेमी $^2$ /सेकण्ड की दर से बढ़ रहा है। बुलबुले का आयतन किस दर से बढ़ रहा है, जबकि बुलबुले की त्रिज्या 6 सेमी. है।
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माना कि गोलीय बुलबुले की त्रिज्या $r$ और उसका पृष्ठीय क्षेत्रफल S व आयतन V है।
तब $\quad S =4 \pi r^2 \Rightarrow \frac{d S}{d r}=\frac{d}{d r}\left(4 \pi r^2\right)$
$\Rightarrow \quad \frac{d S}{d r}=8 \pi r$..........(1)
समय के सापेक्ष पृष्ठीय क्षेत्रफल के परिवत्तन की दर
$\frac{d S}{d t}=2$ सेमी $^2 /$ सेकण्ड (दिया है)
इसलिये $\quad \frac{d S}{d t}=\frac{d S}{d r} \cdot \frac{d r}{d t}$
मान रखने पर
$\Rightarrow \quad 2=8 \pi r \frac{d r}{d t}$
$\Rightarrow \quad \frac{d r}{d t}=\frac{2}{8 \pi r}=\frac{1}{4 \pi r}$........(2)
अब, $\quad V =\frac{4}{3} \pi r^3 \Rightarrow \frac{d V}{d r}=\frac{d}{d r}\left(\frac{4}{3} \pi r^3\right)$
$\Rightarrow \quad \frac{d V}{d r}=\frac{4}{3} \pi \cdot 3 r^2=4 \pi r^2$.........(3)
इसलिये $\quad \frac{d V}{d t}=\frac{d V}{d r} \times \frac{d r}{d t}$
मान रखने पर $\frac{d V}{d t}=4 \pi r^2 \times \frac{1}{4 \pi r}=r$
जब $r=6$ सेमी. $\frac{d V}{d t}=6$ सेमी $^3 /$ सेकण्ड
तब $\quad S =4 \pi r^2 \Rightarrow \frac{d S}{d r}=\frac{d}{d r}\left(4 \pi r^2\right)$
$\Rightarrow \quad \frac{d S}{d r}=8 \pi r$..........(1)
समय के सापेक्ष पृष्ठीय क्षेत्रफल के परिवत्तन की दर
$\frac{d S}{d t}=2$ सेमी $^2 /$ सेकण्ड (दिया है)
इसलिये $\quad \frac{d S}{d t}=\frac{d S}{d r} \cdot \frac{d r}{d t}$
मान रखने पर
$\Rightarrow \quad 2=8 \pi r \frac{d r}{d t}$
$\Rightarrow \quad \frac{d r}{d t}=\frac{2}{8 \pi r}=\frac{1}{4 \pi r}$........(2)
अब, $\quad V =\frac{4}{3} \pi r^3 \Rightarrow \frac{d V}{d r}=\frac{d}{d r}\left(\frac{4}{3} \pi r^3\right)$
$\Rightarrow \quad \frac{d V}{d r}=\frac{4}{3} \pi \cdot 3 r^2=4 \pi r^2$.........(3)
इसलिये $\quad \frac{d V}{d t}=\frac{d V}{d r} \times \frac{d r}{d t}$
मान रखने पर $\frac{d V}{d t}=4 \pi r^2 \times \frac{1}{4 \pi r}=r$
जब $r=6$ सेमी. $\frac{d V}{d t}=6$ सेमी $^3 /$ सेकण्ड
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