अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x} + (\sec\ x)y = \tan x \ \left(0 \leq x<\frac{\pi}{2}\right)$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
Exercise-9.6-4
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दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x} + y \sec x = \tan x$ रैखिक है।
अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x} + Py = Q$ से तुलना करने पर,
$P = \sec x$ तथा $Q = \tan x$
$\therefore\ ($समाकलन गुणांक$) IF = e^{\int P d x}=e^{\int \sec x d x}$
$\Rightarrow IF = e^{\log |\sec x + \tan x|} = \sec x + \tan x ...(i)$
अतः दिए गए अवकल समीकरण का हल
$y \cdot IF=\int Q \times IF d x+C$
$\Rightarrow y(\sec x + \tan x) = \int \tan x\ (\sec x+\tan x) \ d x+C$
$\Rightarrow y(\sec x + \tan x) = \int \tan x \sec x\ d x+\int \tan ^{2} x\ d x+C$
$\Rightarrow y(\sec x + \tan x) = \sec x + \int \sec ^{2} x\ d x-\int 1\ d x+C \ (\because \tan^2 x = \sec^2x - 1)$
$\Rightarrow y(\sec x + \tan x) = \sec x + \tan x - x + C$
अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x} + Py = Q$ से तुलना करने पर,
$P = \sec x$ तथा $Q = \tan x$
$\therefore\ ($समाकलन गुणांक$) IF = e^{\int P d x}=e^{\int \sec x d x}$
$\Rightarrow IF = e^{\log |\sec x + \tan x|} = \sec x + \tan x ...(i)$
अतः दिए गए अवकल समीकरण का हल
$y \cdot IF=\int Q \times IF d x+C$
$\Rightarrow y(\sec x + \tan x) = \int \tan x\ (\sec x+\tan x) \ d x+C$
$\Rightarrow y(\sec x + \tan x) = \int \tan x \sec x\ d x+\int \tan ^{2} x\ d x+C$
$\Rightarrow y(\sec x + \tan x) = \sec x + \int \sec ^{2} x\ d x-\int 1\ d x+C \ (\because \tan^2 x = \sec^2x - 1)$
$\Rightarrow y(\sec x + \tan x) = \sec x + \tan x - x + C$
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