बिंदु $(-2, 3),$ से गुजरने वाले ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके किसी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $\frac{2 x}{y^{2}}$ है।
example-13
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हम जानते हैं कि किसी वक्र की स्पर्श रेखा की प्रवणता $\frac{d y}{d x}$ के बराबर होती है। इसलिए
$\frac{d y}{d x}=\frac{2 x}{y^{2}} ...(i)$
चरों को पृथक् करते हुए समीकरण (i) को निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है:
$y^2 dy = 2x dx ...(ii)$
समीकरण (2) के दोनों पक्षों का समाकलन करने पर हम प्राप्त करते हैं :
$\int y^{2} d y=\int 2 x d x$
अथवा $\frac{y^{3}}{2} = x^2 + C ...(iii)$
समीकरण $(iii)$ में $x = -2, y = 3$ प्रतिस्थापित करने पर हमें $C = 5$ प्राप्त होता है।
$C$ का मान समीकरण $(iii)$ में प्रतिस्थापित करने पर हमें अभीष्ट वक्र का समीकरण
$\frac{y^{3}}{3} = x^2 + 5$ अथवा $y = (3x^2 + 15)^{\frac{1}{3}}$
के रूप में प्राप्त होता है।
$\frac{d y}{d x}=\frac{2 x}{y^{2}} ...(i)$
चरों को पृथक् करते हुए समीकरण (i) को निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है:
$y^2 dy = 2x dx ...(ii)$
समीकरण (2) के दोनों पक्षों का समाकलन करने पर हम प्राप्त करते हैं :
$\int y^{2} d y=\int 2 x d x$
अथवा $\frac{y^{3}}{2} = x^2 + C ...(iii)$
समीकरण $(iii)$ में $x = -2, y = 3$ प्रतिस्थापित करने पर हमें $C = 5$ प्राप्त होता है।
$C$ का मान समीकरण $(iii)$ में प्रतिस्थापित करने पर हमें अभीष्ट वक्र का समीकरण
$\frac{y^{3}}{3} = x^2 + 5$ अथवा $y = (3x^2 + 15)^{\frac{1}{3}}$
के रूप में प्राप्त होता है।
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