किसी बैंक में मूलधन की वृद्धि $r\%$ वार्षिक की दर से होती है। यदि $100$ रुपये $10$ वर्षों में दुगुने हो जाते हैं, तो $r$ का मान ज्ञात कीजिए। $(log_e2 = 0.6931).$
Exercise-9.4-20
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माना मूलधन, समय तथा दर क्रमशः $P, t$ तथा $r$ है, तब प्रश्नानुसार,
$\therefore \frac{d P}{d t}=P$ का $r% $
$\Rightarrow \frac{d P}{d t}=\frac{r P}{100}$
$\Rightarrow \frac{d P}{P}=\frac{r}{100} d t ($चरों के पृथक्करण से$)$
समाकलन करने पर,
$\int \frac{d P}{P}=\int \frac{r}{100} d t$
$\Rightarrow \log |P|=\frac{r}{100} t+C ...(i)$
प्रारम्भ में, जब $t = 0 ,$ माना $P = P_0$, तब
$\log |P_0| = 0 + C $
$\Rightarrow C = \log |P_0|$
$C$ का मान समी. $(i)$ में रखने पर,
$\log |P| = \frac{r}{100}t + \log |P_0|$
$\Rightarrow \log |P| - \log |P_0| = \frac{r}{100} t$
$\Rightarrow \log \left|\frac{P}{P_{0}}\right|=\frac{r}{100} t ...(ii)$
दिया है कि, जब $t = 10 $
$\Rightarrow P = 2P_0,$ समी. $(ii)$ में रखने पर,
$\log \left|\frac{2 P_{0}}{P_{0}}\right| = \log 2 =\frac{r(10)}{100}$
$\Rightarrow r = 10 \log 2 = 10 \times 0.6931 $
$\Rightarrow r = 6.931$
अतः $r$ का मान $6.93\%$ है।
$\therefore \frac{d P}{d t}=P$ का $r% $
$\Rightarrow \frac{d P}{d t}=\frac{r P}{100}$
$\Rightarrow \frac{d P}{P}=\frac{r}{100} d t ($चरों के पृथक्करण से$)$
समाकलन करने पर,
$\int \frac{d P}{P}=\int \frac{r}{100} d t$
$\Rightarrow \log |P|=\frac{r}{100} t+C ...(i)$
प्रारम्भ में, जब $t = 0 ,$ माना $P = P_0$, तब
$\log |P_0| = 0 + C $
$\Rightarrow C = \log |P_0|$
$C$ का मान समी. $(i)$ में रखने पर,
$\log |P| = \frac{r}{100}t + \log |P_0|$
$\Rightarrow \log |P| - \log |P_0| = \frac{r}{100} t$
$\Rightarrow \log \left|\frac{P}{P_{0}}\right|=\frac{r}{100} t ...(ii)$
दिया है कि, जब $t = 10 $
$\Rightarrow P = 2P_0,$ समी. $(ii)$ में रखने पर,
$\log \left|\frac{2 P_{0}}{P_{0}}\right| = \log 2 =\frac{r(10)}{100}$
$\Rightarrow r = 10 \log 2 = 10 \times 0.6931 $
$\Rightarrow r = 6.931$
अतः $r$ का मान $6.93\%$ है।
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