किसी बैंक में मूलधन की वृद्धि $5\%$ वार्षिक की दर से होती है। कितने वर्षों में $₹1000$ की राशि दुगुनी हो जाएगी?
example-14
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मान लीजिए किसी समय t पर मूलधन $P$ है। दी हुई समस्या के अनुसार
$\frac{d \mathrm{P}}{d t}=\left(\frac{5}{100}\right) \times \mathrm{P} $
अथवा $\frac{d \mathrm{P}}{d t}=\frac{\mathrm{P}}{20} ...(i)$
समीकरण $(i)$ में चरों को पृथक् करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
$\frac{d \mathrm{P}}{\mathrm{P}}=\frac{d t}{20} $ ...(ii)
समीकरण $(ii)$ के दोनों पक्षों का समाकलन करने पर हम प्राप्त करते हैं:
$\log \mathrm{P}=\frac{t}{20}+\mathrm{C}_{1}$
अथवा $ \mathrm{P}=e^{\frac{t}{20}} \cdot e^{c_{1}}$
अथवा $\mathrm{P}=\mathrm{C} e^{\frac{t}{20}} ($जहाँ $e^{\mathrm{C}_{1}} = C) ...(iii)$
अब $P = 1000$, जब $t = 0$
$P$ और $t$ का मान समीकरण $(iii)$ में रखने पर हम $C = 1000$ प्राप्त करते हैं।
इसलिए समीकरण $(iii)$ से हम प्राप्त करते हैं:
$P = 1000e^{\frac{t}{20}}$
मान लीजिए $t$ वर्षों में मूलधन दुगुना हो जाता है, तब
$2000 = 1000 e^{\frac{t}{20}} \Rightarrow t = 20 log_e2$
$\frac{d \mathrm{P}}{d t}=\left(\frac{5}{100}\right) \times \mathrm{P} $
अथवा $\frac{d \mathrm{P}}{d t}=\frac{\mathrm{P}}{20} ...(i)$
समीकरण $(i)$ में चरों को पृथक् करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
$\frac{d \mathrm{P}}{\mathrm{P}}=\frac{d t}{20} $ ...(ii)
समीकरण $(ii)$ के दोनों पक्षों का समाकलन करने पर हम प्राप्त करते हैं:
$\log \mathrm{P}=\frac{t}{20}+\mathrm{C}_{1}$
अथवा $ \mathrm{P}=e^{\frac{t}{20}} \cdot e^{c_{1}}$
अथवा $\mathrm{P}=\mathrm{C} e^{\frac{t}{20}} ($जहाँ $e^{\mathrm{C}_{1}} = C) ...(iii)$
अब $P = 1000$, जब $t = 0$
$P$ और $t$ का मान समीकरण $(iii)$ में रखने पर हम $C = 1000$ प्राप्त करते हैं।
इसलिए समीकरण $(iii)$ से हम प्राप्त करते हैं:
$P = 1000e^{\frac{t}{20}}$
मान लीजिए $t$ वर्षों में मूलधन दुगुना हो जाता है, तब
$2000 = 1000 e^{\frac{t}{20}} \Rightarrow t = 20 log_e2$
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